Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catcoppccl Structured version   Unicode version

Theorem catcoppccl 14263
 Description: The category of categories for a weak universe is closed under taking opposites. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcoppccl.c CatCat
catcoppccl.b
catcoppccl.o oppCat
catcoppccl.1 WUni
catcoppccl.2
catcoppccl.3
Assertion
Ref Expression
catcoppccl

Proof of Theorem catcoppccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcoppccl.3 . . . . 5
2 eqid 2436 . . . . . 6
3 eqid 2436 . . . . . 6
4 eqid 2436 . . . . . 6 comp comp
5 catcoppccl.o . . . . . 6 oppCat
62, 3, 4, 5oppcval 13939 . . . . 5 sSet tpos sSet comp tpos comp
71, 6syl 16 . . . 4 sSet tpos sSet comp tpos comp
8 catcoppccl.1 . . . . 5 WUni
9 inss1 3561 . . . . . . 7
10 catcoppccl.c . . . . . . . . 9 CatCat
11 catcoppccl.b . . . . . . . . 9
1210, 11, 8catcbas 14252 . . . . . . . 8
131, 12eleqtrd 2512 . . . . . . 7
149, 13sseldi 3346 . . . . . 6
15 df-hom 13553 . . . . . . . 8 Slot ;
16 catcoppccl.2 . . . . . . . . 9
178, 16wunndx 13485 . . . . . . . 8
1815, 8, 17wunstr 13488 . . . . . . 7
1915, 8, 14wunstr 13488 . . . . . . . 8
208, 19wuntpos 8609 . . . . . . 7 tpos
218, 18, 20wunop 8597 . . . . . 6 tpos
228, 14, 21wunsets 13494 . . . . 5 sSet tpos
23 df-cco 13554 . . . . . . 7 comp Slot ;
2423, 8, 17wunstr 13488 . . . . . 6 comp
25 df-base 13474 . . . . . . . . . 10 Slot
2625, 8, 14wunstr 13488 . . . . . . . . 9
278, 26, 26wunxp 8599 . . . . . . . 8
288, 27, 26wunxp 8599 . . . . . . 7
2923, 8, 14wunstr 13488 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
308, 29wunrn 8604 . . . . . . . . . . . . 13 comp
318, 30wununi 8581 . . . . . . . . . . . 12 comp
328, 31wundm 8603 . . . . . . . . . . 11 comp
338, 32wuncnv 8605 . . . . . . . . . 10 comp
348wun0 8593 . . . . . . . . . . 11
358, 34wunsn 8591 . . . . . . . . . 10
368, 33, 35wunun 8585 . . . . . . . . 9 comp
378, 31wunrn 8604 . . . . . . . . 9 comp
388, 36, 37wunxp 8599 . . . . . . . 8 comp comp
398, 38wunpw 8582 . . . . . . 7 comp comp
40 tposssxp 6483 . . . . . . . . . . . 12 tpos comp comp comp
41 ovssunirn 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp
42 dmss 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp comp comp
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp
44 cnvss 5045 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp comp comp
45 unss1 3516 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp comp comp
4643, 44, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp
47 rnss 5098 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp comp comp
4841, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp
49 xpss12 4981 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp comp comp comp comp comp comp
5046, 48, 49mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12 comp comp comp comp
5140, 50sstri 3357 . . . . . . . . . . 11 tpos comp comp comp
52 elpw2g 4363 . . . . . . . . . . . 12 comp comp tpos comp comp comp tpos comp comp comp
5338, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11 tpos comp comp comp tpos comp comp comp
5451, 53mpbiri 225 . . . . . . . . . 10 tpos comp comp comp
5554ralrimivw 2790 . . . . . . . . 9 tpos comp comp comp
5655ralrimivw 2790 . . . . . . . 8 tpos comp comp comp
57 eqid 2436 . . . . . . . . 9 tpos comp tpos comp
5857fmpt2 6418 . . . . . . . 8 tpos comp comp comp tpos comp comp comp
5956, 58sylib 189 . . . . . . 7 tpos comp comp comp
608, 28, 39, 59wunf 8602 . . . . . 6 tpos comp
618, 24, 60wunop 8597 . . . . 5 comp tpos comp
628, 22, 61wunsets 13494 . . . 4 sSet tpos sSet comp tpos comp
637, 62eqeltrd 2510 . . 3
64 inss2 3562 . . . . 5
6564, 13sseldi 3346 . . . 4
665oppccat 13948 . . . 4
6765, 66syl 16 . . 3
68 elin 3530 . . 3
6963, 67, 68sylanbrc 646 . 2
7069, 12eleqtrrd 2513 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  csn 3814  cop 3817  cuni 4015  com 4845   cxp 4876  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1st 6347  c2nd 6348  tpos ctpos 6478  WUnicwun 8575  c1 8991  c4 10051  c5 10052  ;cdc 10382  cnx 13466   sSet csts 13467  cbs 13469   chom 13540  compcco 13541  ccat 13889  oppCatcoppc 13937  CatCatccatc 14249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-wun 8577  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-plp 8860  df-ltp 8862  df-enr 8934  df-nr 8935  df-c 8996  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-hom 13553  df-cco 13554  df-cat 13893  df-cid 13894  df-oppc 13938  df-catc 14250
 Copyright terms: Public domain W3C validator