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Theorem catcxpccl 14309
 Description: The category of categories for a weak universe is closed under the product category operation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catcxpccl.c CatCat
catcxpccl.b
catcxpccl.o c
catcxpccl.u WUni
catcxpccl.1
catcxpccl.x
catcxpccl.y
Assertion
Ref Expression
catcxpccl

Proof of Theorem catcxpccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catcxpccl.o . . . . 5 c
2 eqid 2438 . . . . 5
3 eqid 2438 . . . . 5
4 eqid 2438 . . . . 5
5 eqid 2438 . . . . 5
6 eqid 2438 . . . . 5 comp comp
7 eqid 2438 . . . . 5 comp comp
8 catcxpccl.x . . . . 5
9 catcxpccl.y . . . . 5
10 eqidd 2439 . . . . 5
111, 2, 3xpcbas 14280 . . . . . . 7
12 eqid 2438 . . . . . . 7
131, 11, 4, 5, 12xpchomfval 14281 . . . . . 6
1413a1i 11 . . . . 5
15 eqidd 2439 . . . . 5 comp comp comp comp
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15xpcval 14279 . . . 4 comp comp comp
17 catcxpccl.u . . . . 5 WUni
18 df-base 13479 . . . . . . 7 Slot
19 catcxpccl.1 . . . . . . . 8
2017, 19wunndx 13490 . . . . . . 7
2118, 17, 20wunstr 13493 . . . . . 6
22 inss1 3563 . . . . . . . . 9
23 catcxpccl.c . . . . . . . . . . 11 CatCat
24 catcxpccl.b . . . . . . . . . . 11
2523, 24, 17catcbas 14257 . . . . . . . . . 10
268, 25eleqtrd 2514 . . . . . . . . 9
2722, 26sseldi 3348 . . . . . . . 8
2818, 17, 27wunstr 13493 . . . . . . 7
299, 25eleqtrd 2514 . . . . . . . . 9
3022, 29sseldi 3348 . . . . . . . 8
3118, 17, 30wunstr 13493 . . . . . . 7
3217, 28, 31wunxp 8604 . . . . . 6
3317, 21, 32wunop 8602 . . . . 5
34 df-hom 13558 . . . . . . 7 Slot ;
3534, 17, 20wunstr 13493 . . . . . 6
3617, 32, 32wunxp 8604 . . . . . . . 8
3734, 17, 27wunstr 13493 . . . . . . . . . . . 12
3817, 37wunrn 8609 . . . . . . . . . . 11
3917, 38wununi 8586 . . . . . . . . . 10
4034, 17, 30wunstr 13493 . . . . . . . . . . . 12
4117, 40wunrn 8609 . . . . . . . . . . 11
4217, 41wununi 8586 . . . . . . . . . 10
4317, 39, 42wunxp 8604 . . . . . . . . 9
4417, 43wunpw 8587 . . . . . . . 8
45 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . . . 13
46 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . . . 13
47 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 46, 47mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12
49 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . 14
50 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 50xpex 4993 . . . . . . . . . . . . 13
5251elpw 3807 . . . . . . . . . . . 12
5348, 52mpbir 202 . . . . . . . . . . 11
5453rgen2w 2776 . . . . . . . . . 10
55 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
5655fmpt2 6421 . . . . . . . . . 10
5754, 56mpbi 201 . . . . . . . . 9
5857a1i 11 . . . . . . . 8
5917, 36, 44, 58wunf 8607 . . . . . . 7
6013, 59syl5eqel 2522 . . . . . 6
6117, 35, 60wunop 8602 . . . . 5
62 df-cco 13559 . . . . . . 7 comp Slot ;
6362, 17, 20wunstr 13493 . . . . . 6 comp
6417, 36, 32wunxp 8604 . . . . . . 7
6562, 17, 27wunstr 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
6617, 65wunrn 8609 . . . . . . . . . . . . 13 comp
6717, 66wununi 8586 . . . . . . . . . . . 12 comp
6817, 67wunrn 8609 . . . . . . . . . . 11 comp
6917, 68wununi 8586 . . . . . . . . . 10 comp
7017, 69wunpw 8587 . . . . . . . . 9 comp
7162, 17, 30wunstr 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
7217, 71wunrn 8609 . . . . . . . . . . . . 13 comp
7317, 72wununi 8586 . . . . . . . . . . . 12 comp
7417, 73wunrn 8609 . . . . . . . . . . 11 comp
7517, 74wununi 8586 . . . . . . . . . 10 comp
7617, 75wunpw 8587 . . . . . . . . 9 comp
7717, 70, 76wunxp 8604 . . . . . . . 8 comp comp
7817, 60wunrn 8609 . . . . . . . . . 10
7917, 78wununi 8586 . . . . . . . . 9
8017, 79, 79wunxp 8604 . . . . . . . 8
8117, 77, 80wunpm 8605 . . . . . . 7 comp comp
82 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp
8382rnex 5136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp
8483uniex 4708 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp
8584rnex 5136 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
8685uniex 4708 . . . . . . . . . . . . 13 comp
8786pwex 4385 . . . . . . . . . . . 12 comp
88 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp
8988rnex 5136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp
9089uniex 4708 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp
9190rnex 5136 . . . . . . . . . . . . . 14 comp
9291uniex 4708 . . . . . . . . . . . . 13 comp
9392pwex 4385 . . . . . . . . . . . 12 comp
9487, 93xpex 4993 . . . . . . . . . . 11 comp comp
95 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . 14
9695rnex 5136 . . . . . . . . . . . . 13
9796uniex 4708 . . . . . . . . . . . 12
9897, 97xpex 4993 . . . . . . . . . . 11
99 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp comp
100 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp
101 rnss 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp comp comp
102 uniss 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp comp comp
103100, 101, 102mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp comp
10499, 103sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp
105 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp
106105elpw 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp comp comp
107104, 106mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp
108 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp comp
109 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp
110 rnss 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp comp comp
111 uniss 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 comp comp comp comp
112109, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp comp
113108, 112sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp
114 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 comp
115114elpw 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15 comp comp comp comp
116113, 115mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp
117 opelxpi 4913 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp comp comp comp comp comp comp
118107, 116, 117mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp comp comp
119118rgen2w 2776 . . . . . . . . . . . 12 comp comp comp comp
120 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp comp comp
121120fmpt2 6421 . . . . . . . . . . . 12 comp comp comp comp comp comp comp comp
122119, 121mpbi 201 . . . . . . . . . . 11 comp comp comp comp
123 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . . 12
124 fvssunirn 5757 . . . . . . . . . . . 12
125 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . 12
126123, 124, 125mp2an 655 . . . . . . . . . . 11
127 elpm2r 7037 . . . . . . . . . . 11 comp comp comp comp comp comp comp comp comp comp
12894, 98, 122, 126, 127mp4an 656 . . . . . . . . . 10 comp comp comp comp
129128rgen2w 2776 . . . . . . . . 9 comp comp comp comp
130 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 comp comp comp comp
131130fmpt2 6421 . . . . . . . . 9 comp comp comp comp comp comp comp comp
132129, 131mpbi 201 . . . . . . . 8 comp comp comp comp
133132a1i 11 . . . . . . 7 comp comp comp comp
13417, 64, 81, 133wunf 8607 . . . . . 6 comp comp
13517, 63, 134wunop 8602 . . . . 5 comp comp comp
13617, 33, 61, 135wuntp 8591 . . . 4 comp comp comp
13716, 136eqeltrd 2512 . . 3
138 inss2 3564 . . . . 5
139138, 26sseldi 3348 . . . 4
140138, 29sseldi 3348 . . . 4
1411, 139, 140xpccat 14292 . . 3
142 elin 3532 . . 3
143137, 141, 142sylanbrc 647 . 2
144143, 25eleqtrrd 2515 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  ctp 3818  cop 3819  cuni 4017  com 4848   cxp 4879   crn 4882  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  c1st 6350  c2nd 6351   cpm 7022  WUnicwun 8580  c1 8996  c4 10056  c5 10057  ;cdc 10387  cnx 13471  cbs 13474   chom 13545  compcco 13546  ccat 13894  CatCatccatc 14254   c cxpc 14270 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-wun 8582  df-ni 8754  df-pli 8755  df-mi 8756  df-lti 8757  df-plpq 8790  df-mpq 8791  df-ltpq 8792  df-enq 8793  df-nq 8794  df-erq 8795  df-plq 8796  df-mq 8797  df-1nq 8798  df-rq 8799  df-ltnq 8800  df-np 8863  df-plp 8865  df-ltp 8867  df-enr 8939  df-nr 8940  df-c 9001  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-hom 13558  df-cco 13559  df-cat 13898  df-cid 13899  df-catc 14255  df-xpc 14274
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