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Theorem cati 25858
Description: Definitional properties of a category. (Contributed by FL, 24-Oct-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
cati.1  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
cati.2  |-  C  =  ( cod_ `  T
)
cati.3  |-  J  =  ( id_ `  T
)
cati.4  |-  R  =  ( o_ `  T
)
cati.5  |-  M  =  dom  D
cati.6  |-  O  =  dom  J
Assertion
Ref Expression
cati  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, a,
f, g, h    D, a, f, g, h    J, a, f    f, M    R, a, f, g, h
Allowed substitution hints:    T( f, g, h, a)    J( g, h)    M( g, h, a)    O( f, g, h, a)

Proof of Theorem cati
Dummy variables  c 
d  j  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-catOLD 25856 . . 3  |-  Cat OLD  =  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  = 
<. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  /\  ( ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) ) ) }
21eleq2i 2360 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  <->  T  e.  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  = 
<. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  /\  ( ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) ) ) } )
3 cati.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
43domval 25826 . . . . . 6  |-  D  =  ( 1st `  ( 1st `  T ) )
54eqcomi 2300 . . . . 5  |-  ( 1st `  ( 1st `  T
) )  =  D
65eqeq2i 2306 . . . 4  |-  ( d  =  ( 1st `  ( 1st `  T ) )  <-> 
d  =  D )
7 opeq1 3812 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  <. d ,  c >.  =  <. D ,  c >. )
87opeq1d 3818 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  c >. , 
<. j ,  r >. >. )
98eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  <->  <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded ) )
10 dmeq 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  dom  D )
11 cati.5 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  dom  D
1210, 11syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  M )
1312eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
f  e.  dom  d  <->  f  e.  M ) )
1412eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
g  e.  dom  d  <->  g  e.  M ) )
1512eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  D  ->  (
h  e.  dom  d  <->  h  e.  M ) )
16 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  h )  =  ( D `  h ) )
1716eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  h
)  =  ( c `
 g )  <->  ( D `  h )  =  ( c `  g ) ) )
18 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  g )  =  ( D `  g ) )
1918eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  g
)  =  ( c `
 f )  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) )
2017, 19anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( d `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) ) )
2120imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( d `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( d `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  ( (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
2215, 21imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
( h  e.  dom  d  ->  ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( h  e.  M  ->  ( (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
2322ralbidv2 2578 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  ( A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
2414, 23imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( g  e.  dom  d  ->  A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( g  e.  M  ->  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
2524ralbidv2 2578 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  ( A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
2613, 25imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( f  e.  M  ->  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
2726ralbidv2 2578 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
289, 27anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
2912raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d ( ( c `
 f )  =  a  ->  ( (
j `  a )
r f )  =  f )  <->  A. f  e.  M  ( (
c `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f ) ) )
3029ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `
 f )  =  a  ->  ( (
j `  a )
r f )  =  f )  <->  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( (
c `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f ) ) )
31 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  f )  =  ( D `  f ) )
3231eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  f
)  =  a  <->  ( D `  f )  =  a ) )
3332imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f )  <->  ( ( D `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f ) ) )
3413, 33imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  ( ( d `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f ) )  <->  ( f  e.  M  ->  ( ( D `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) ) )
3534ralbidv2 2578 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d ( ( d `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f )  <->  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )
3635ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f )  <->  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )
3730, 36anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f )  =  a  ->  (
( j `  a
) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f ) )  <->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  (
( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) )
3828, 37anbi12d 691 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  c >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
396, 38sylbi 187 . . 3  |-  ( d  =  ( 1st `  ( 1st `  T ) )  ->  ( ( (
<. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  c >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
40 cati.2 . . . . . . 7  |-  C  =  ( cod_ `  T
)
4140codval 25827 . . . . . 6  |-  C  =  ( 2nd `  ( 1st `  T ) )
4241eqcomi 2300 . . . . 5  |-  ( 2nd `  ( 1st `  T
) )  =  C
4342eqeq2i 2306 . . . 4  |-  ( c  =  ( 2nd `  ( 1st `  T ) )  <-> 
c  =  C )
44 opeq2 3813 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  <. D , 
c >.  =  <. D ,  C >. )
4544opeq1d 3818 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  C >. , 
<. j ,  r >. >. )
4645eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( <. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded ) )
47 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  g )  =  ( C `  g ) )
4847eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  <->  ( D `  h )  =  ( C `  g ) ) )
49 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  f )  =  ( C `  f ) )
5049eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )
5148, 50anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( D `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) )
5251imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
5352ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
54532ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
5546, 54anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. , 
<. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
5649eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( c `  f
)  =  a  <->  ( C `  f )  =  a ) )
5756imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  ( ( C `
 f )  =  a  ->  ( (
j `  a )
r f )  =  f ) ) )
58572ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f ) ) )
5958anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. a  e. 
dom  j A. f  e.  M  ( (
c `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( j `  a ) )  =  f ) )  <->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) )
6055, 59anbi12d 691 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
6143, 60sylbi 187 . . 3  |-  ( c  =  ( 2nd `  ( 1st `  T ) )  ->  ( ( (
<. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
62 cati.3 . . . . . . 7  |-  J  =  ( id_ `  T
)
6362idval 25828 . . . . . 6  |-  J  =  ( 1st `  ( 2nd `  T ) )
6463eqcomi 2300 . . . . 5  |-  ( 1st `  ( 2nd `  T
) )  =  J
6564eqeq2i 2306 . . . 4  |-  ( j  =  ( 1st `  ( 2nd `  T ) )  <-> 
j  =  J )
66 opeq1 3812 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  <. j ,  r >.  =  <. J ,  r >. )
6766opeq2d 3819 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  r >. >. )
6867eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Ded  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Ded )
)
6968anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
70 dmeq 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  dom  J )
71 cati.6 . . . . . . . . . 10  |-  O  =  dom  J
7270, 71syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  O )
7372eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
a  e.  dom  j  <->  a  e.  O ) )
74 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
j `  a )  =  ( J `  a ) )
7574oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
( j `  a
) r f )  =  ( ( J `
 a ) r f ) )
7675eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( j `  a ) r f )  =  f  <->  ( ( J `  a )
r f )  =  f ) )
7776imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  ( ( C `
 f )  =  a  ->  ( ( J `  a )
r f )  =  f ) ) )
7877ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  ( A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f ) ) )
7973, 78imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
( a  e.  dom  j  ->  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f ) )  <->  ( a  e.  O  ->  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `  a ) r f )  =  f ) ) ) )
8079ralbidv2 2578 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f ) ) )
8174oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  ( f r ( J `  a
) ) )
8281eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( f r ( j `  a ) )  =  f  <->  ( f
r ( J `  a ) )  =  f ) )
8382imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f )  <->  ( ( D `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( J `  a ) )  =  f ) ) )
8483ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  ( A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f )  <->  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a
) )  =  f ) ) )
8573, 84imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
( a  e.  dom  j  ->  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f ) )  <->  ( a  e.  O  ->  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
8685ralbidv2 2578 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f )  <->  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a
) )  =  f ) ) )
8780, 86anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  (
( A. a  e. 
dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( j `  a ) )  =  f ) )  <->  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
8869, 87anbi12d 691 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
8965, 88sylbi 187 . . 3  |-  ( j  =  ( 1st `  ( 2nd `  T ) )  ->  ( ( (
<. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
90 cati.4 . . . . . . 7  |-  R  =  ( o_ `  T
)
9190cmpval 25829 . . . . . 6  |-  R  =  ( 2nd `  ( 2nd `  T ) )
9291eqcomi 2300 . . . . 5  |-  ( 2nd `  ( 2nd `  T
) )  =  R
9392eqeq2i 2306 . . . 4  |-  ( r  =  ( 2nd `  ( 2nd `  T ) )  <-> 
r  =  R )
94 opeq2 3813 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  <. J , 
r >.  =  <. J ,  R >. )
9594opeq2d 3819 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  =  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >. )
9695eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Ded  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded )
)
97 oveq 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
g r f )  =  ( g R f ) )
9897oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
h r ( g r f ) )  =  ( h r ( g R f ) ) )
99 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
h r ( g R f ) )  =  ( h R ( g R f ) ) )
10098, 99eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
h r ( g r f ) )  =  ( h R ( g R f ) ) )
101 oveq 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
h r g )  =  ( h R g ) )
102101oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( h r g ) r f )  =  ( ( h R g ) r f ) )
103 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( h R g ) r f )  =  ( ( h R g ) R f ) )
104102, 103eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( h r g ) r f )  =  ( ( h R g ) R f ) )
105100, 104eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f )  <->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )
106105imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) ) )
107106ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) ) )
1081072ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) ) )
10996, 108anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) ) ) )
110 oveq 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( J `  a
) r f )  =  ( ( J `
 a ) R f ) )
111110eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( J `  a ) r f )  =  f  <->  ( ( J `  a ) R f )  =  f ) )
112111imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  <->  ( ( C `
 f )  =  a  ->  ( ( J `  a ) R f )  =  f ) ) )
1131122ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  <->  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f ) ) )
114 oveq 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
f r ( J `
 a ) )  =  ( f R ( J `  a
) ) )
115114eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( f r ( J `  a ) )  =  f  <->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) )
116115imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a
) )  =  f )  <->  ( ( D `
 f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) )
1171162ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a
) )  =  f )  <->  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a
) )  =  f ) ) )
118113, 117anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `
 f )  =  a  ->  ( ( J `  a )
r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( J `  a ) )  =  f ) )  <->  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `  a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
119109, 118anbi12d 691 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
12093, 119sylbi 187 . . 3  |-  ( r  =  ( 2nd `  ( 2nd `  T ) )  ->  ( ( (
<. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
12139, 61, 89, 120eloi 25189 . 2  |-  ( T  e.  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  =  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  /\  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) ) ) }  ->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
1222, 121sylbi 187 1  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   <.cop 3656   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817   o_co_ 25818   Dedcded 25837    Cat
OLD ccatOLD 25855
This theorem is referenced by:  catded  25867  cmpasso  25876  cmpida  25877  cmpidb  25878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-ov 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-dom_ 25820  df-cod_ 25821  df-id_ 25822  df-cmpa 25823  df-catOLD 25856
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