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Theorem catidd 13598
Description: Deduce the identity arrow in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
catidd.h  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  C ) )
catidd.o  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
catidd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( x H x ) )
catidd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
catidd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
Assertion
Ref Expression
catidd  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  B  |->  .1.  )
)
Distinct variable groups:    y, f,  .1.    x, B    x, f, C, y    ph, f, x, y
Allowed substitution hints:    B( y, f)    .x. ( x, y, f)    .1. ( x)    H( x, y, f)

Proof of Theorem catidd
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catidd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
21ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) )  ->  (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
3 catidd.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
43eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  C
) ) )
53eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( Base `  C
) ) )
6 catidd.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  C ) )
76oveqd 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y H x )  =  ( y (  Hom  `  C
) x ) )
87eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( y H x )  <-> 
f  e.  ( y (  Hom  `  C
) x ) ) )
94, 5, 83anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  f  e.  (
y (  Hom  `  C
) x ) ) ) )
10 catidd.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
1110oveqd 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. y ,  x >.  .x.  x )  =  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) )
1211oveqd 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C ) x ) f ) )
1312eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f ) )
142, 9, 133imtr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  f  e.  (
y (  Hom  `  C
) x ) )  ->  (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) )
15143expd 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  ->  ( f  e.  ( y (  Hom  `  C
) x )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) ) ) )
1615imp41 576 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f )
1716ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f )
18 catidd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
1918ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) )  ->  (
f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
206oveqd 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x H y )  =  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
2120eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( x H y )  <-> 
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) ) )
224, 5, 213anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  f  e.  (
x (  Hom  `  C
) y ) ) ) )
2310oveqd 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  x >.  .x.  y )  =  ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) )
2423oveqd 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  ) )
2524eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f  <->  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
2619, 22, 253imtr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  f  e.  (
x (  Hom  `  C
) y ) )  ->  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
27263expd 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  ->  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  -> 
( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) ) ) )
2827imp41 576 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f )
2928ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f )
3017, 29jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. f  e.  (
y (  Hom  `  C
) x ) (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y )  .1.  )  =  f ) )
3130ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
32 catidd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( x H x ) )
3332ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  .1.  e.  ( x H x ) ) )
346oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x H x )  =  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
3534eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .1.  e.  ( x H x )  <-> 
.1.  e.  ( x
(  Hom  `  C ) x ) ) )
3633, 4, 353imtr3d 258 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  ->  .1.  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) ) )
3736imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  .1.  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
38 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
39 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
40 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
41 catidd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4241adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  C  e.  Cat )
43 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
4438, 39, 40, 42, 43catideu 13593 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  E! g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )
45 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( g  =  .1.  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  C
) )
46 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  (
y (  Hom  `  C
) x )  =  ( y (  Hom  `  C ) x ) )
47 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f ) )
4847eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  <-> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) )
4946, 48raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. f  e.  (
y (  Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) )
50 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  (
x (  Hom  `  C
) y )  =  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
51 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y )  .1.  )
)
5251eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f  <-> 
( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
5350, 52raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. f  e.  (
x (  Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) )
5449, 53anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f ) ) )
5545, 54raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C
) x ) (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y )  .1.  )  =  f ) ) )
5655riota2 6343 . . . . 5  |-  ( (  .1.  e.  ( x (  Hom  `  C
) x )  /\  E! g  e.  (
x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y )  .1.  )  =  f )  <->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )  =  .1.  ) )
5737, 44, 56syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) (  .1.  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y )  .1.  )  =  f )  <->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C )
x ) A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )  =  .1.  ) )
5831, 57mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C )
x ) A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )  =  .1.  )
5958mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  .1.  ) )
60 eqid 2296 . . 3  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
6138, 39, 40, 41, 60cidfval 13594 . 2  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) ) )
623mpteq1d 4117 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  .1.  )  =  ( x  e.  ( Base `  C )  |->  .1.  )
)
6359, 61, 623eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  B  |->  .1.  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E!wreu 2558   <.cop 3656    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583
This theorem is referenced by:  iscatd2  13599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-cat 13586  df-cid 13587
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