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Theorem catideu 13902
Description: Each object in a category has a unique identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidex.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catidex.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
catidex.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catidex.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidex.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
catideu  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
Distinct variable groups:    f, g,
y, B    C, f,
g, y    ph, g    f, X, g, y    f, H, g, y    .x. , f,
g, y
Allowed substitution hints:    ph( y, f)

Proof of Theorem catideu
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catidex.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 catidex.h . . 3  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
3 catidex.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 catidex.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
5 catidex.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
61, 2, 3, 4, 5catidex 13901 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
7 oveq1 6090 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
y H X )  =  ( X H X ) )
8 opeq1 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  <. y ,  X >.  =  <. X ,  X >. )
98oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( <. y ,  X >.  .x. 
X )  =  (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) )
109oveqd 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (
g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
f ) )
1110eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  <->  ( g
( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f ) )
127, 11raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H X ) ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f ) )
13 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( X H y )  =  ( X H X ) )
14 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( <. X ,  X >.  .x.  y )  =  (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) )
1514oveqd 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g ) )
1615eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f ) )
1713, 16raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  f ) )
1812, 17anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  (
( A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f ) ) )
1918rspcv 3050 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  f ) ) )
205, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  f ) ) )
2120ralrimivw 2792 . . 3  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( X H X ) ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  f ) ) )
22 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  f )  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  f ) )
2322ad2ant2rl 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. f  e.  ( X H X ) ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f )  /\  ( A. f  e.  ( X H X ) ( h (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  f ) )  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h )  =  f ) )
24 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
f )  =  ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h ) )
25 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  f  =  h )
2624, 25eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  <->  ( g
( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  h ) )
2726rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( X H X )  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
f )  =  f  ->  ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) h )  =  h ) )
28 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h )  =  ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h ) )
29 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  f  =  g )
3028, 29eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) h )  =  f  <->  ( g
( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  g ) )
3130rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( X H X )  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h )  =  f  ->  ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) h )  =  g ) )
3227, 31im2anan9r 811 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( X H X )  /\  h  e.  ( X H X ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( X H X ) ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  f )  ->  ( ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  h  /\  ( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) h )  =  g ) ) )
33 eqtr2 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) h )  =  h  /\  (
g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h )  =  g )  ->  h  =  g )
3433eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) h )  =  h  /\  (
g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h )  =  g )  ->  g  =  h )
3523, 32, 34syl56 33 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( X H X )  /\  h  e.  ( X H X ) )  -> 
( ( ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  f )  /\  ( A. f  e.  ( X H X ) ( h ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h )  =  f ) )  ->  g  =  h ) )
3635rgen2a 2774 . . . . 5  |-  A. g  e.  ( X H X ) A. h  e.  ( X H X ) ( ( ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f )  /\  ( A. f  e.  ( X H X ) ( h (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  f ) )  ->  g  =  h )
3736a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( X H X ) A. h  e.  ( X H X ) ( ( ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  f )  /\  ( A. f  e.  ( X H X ) ( h ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h )  =  f ) )  ->  g  =  h ) )
38 oveq1 6090 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
f )  =  ( h ( <. X ,  X >.  .x.  X )
f ) )
3938eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  <->  ( h
( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f ) )
4039ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X )
f )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H X ) ( h ( <. X ,  X >.  .x.  X )
f )  =  f ) )
41 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h ) )
4241eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) g )  =  f  <->  ( f
( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  f ) )
4342ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
h )  =  f ) )
4440, 43anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  (
( A. f  e.  ( X H X ) ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f )  <-> 
( A. f  e.  ( X H X ) ( h (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  f ) ) )
4544rmo4 3129 . . . 4  |-  ( E* g  e.  ( X H X ) ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f )  <->  A. g  e.  ( X H X ) A. h  e.  ( X H X ) ( ( ( A. f  e.  ( X H X ) ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f )  /\  ( A. f  e.  ( X H X ) ( h (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) h )  =  f ) )  ->  g  =  h ) )
4637, 45sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  E* g  e.  ( X H X ) ( A. f  e.  ( X H X ) ( g (
<. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f ) )
47 rmoim 3135 . . 3  |-  ( A. g  e.  ( X H X ) ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X )
g )  =  f ) )  ->  ( E* g  e.  ( X H X ) ( A. f  e.  ( X H X ) ( g ( <. X ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H X ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  X ) g )  =  f )  ->  E* g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
4821, 46, 47sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  E* g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
49 reu5 2923 . 2  |-  ( E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  <->  ( E. g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  /\  E* g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
506, 48, 49sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   E*wrmo 2710   <.cop 3819   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471    Hom chom 13542  compcco 13543   Catccat 13891
This theorem is referenced by:  catidd  13907  catidcl  13909  catlid  13910  catrid  13911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4340
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086  df-cat 13895
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