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Theorem catidex 13592
Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidex.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catidex.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
catidex.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catidex.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidex.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
catidex  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
Distinct variable groups:    f, g,
y, B    C, f,
g, y    ph, g    f, X, g, y    f, H, g, y    .x. , f,
g, y
Allowed substitution hints:    ph( y, f)

Proof of Theorem catidex
Dummy variables  k  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catidex.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
2 catidex.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
3 catidex.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
4 catidex.h . . . . 5  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
5 catidex.o . . . . 5  |-  .x.  =  (comp `  C )
63, 4, 5iscat 13590 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( C  e.  Cat  <->  A. x  e.  B  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) ) )
76ibi 232 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  A. x  e.  B  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) )
8 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )  ->  E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
98ralimi 2631 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  ( E. g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )  ->  A. x  e.  B  E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
102, 7, 93syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  E. g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
11 id 19 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
1211, 11oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x H x )  =  ( X H X ) )
13 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  B  =  B )
14 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y H x )  =  ( y H X ) )
15 opeq2 3813 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  <. y ,  x >.  =  <. y ,  X >. )
1615, 11oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( <. y ,  x >.  .x.  x )  =  (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) )
1716oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f ) )
1817eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f ) )
1914, 18raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. f  e.  (
y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f ) )
20 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x H y )  =  ( X H y ) )
2111, 11opeq12d 3820 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  <. x ,  x >.  =  <. X ,  X >. )
2221oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( <. x ,  x >.  .x.  y )  =  (
<. X ,  X >.  .x.  y ) )
2322oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g ) )
2423eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
2520, 24raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) ( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
2619, 25anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
2713, 26raleqbidv 2761 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
2812, 27rexeqbidv 2762 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  ( E. g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  E. g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
2928rspcv 2893 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  E. g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  ->  E. g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g (
<. y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
301, 10, 29sylc 56 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   <.cop 3656   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582
This theorem is referenced by:  catideu  13593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-cat 13586
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