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Theorem catlid 13908
Description: Left identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catidcl.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
catidcl.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
catidcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catlid.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catlid.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catlid.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
catlid  |-  ( ph  ->  ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) F )  =  F )

Proof of Theorem catlid
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catlid.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
2 catidcl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f )  ->  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f )
43ralimi 2781 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f )  ->  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( Y H Y )  ->  ( A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f )  ->  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
65ss2rabi 3425 . . . . 5  |-  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) }  C_  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f }
7 catidcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  C
)
8 catidcl.h . . . . . . 7  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
9 catlid.o . . . . . . 7  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 catidcl.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
11 catidcl.i . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( Id `  C )
12 catlid.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
137, 8, 9, 10, 11, 12cidval 13902 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  Y
)  =  ( iota_ g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) ) )
147, 8, 9, 10, 12catideu 13900 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) )
15 riotacl2 6563 . . . . . . 7  |-  ( E! g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f )  ->  ( iota_ g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( Y H Y )  | 
A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) } )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( Y H Y ) A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( Y H Y )  | 
A. x  e.  B  ( A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) } )
1713, 16eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  Y
)  e.  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( Y H x ) ( f ( <. Y ,  Y >.  .x.  x )
g )  =  f ) } )
186, 17sseldi 3346 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  Y
)  e.  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f } )
19 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (  .1.  `  Y )  ->  (
g ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  ( (  .1.  `  Y
) ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f ) )
2019eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( g  =  (  .1.  `  Y )  ->  (
( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  ( (  .1.  `  Y ) (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
21202ralbidv 2747 . . . . . 6  |-  ( g  =  (  .1.  `  Y )  ->  ( A. x  e.  B  A. f  e.  (
x H Y ) ( g ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
2221elrab 3092 . . . . 5  |-  ( (  .1.  `  Y )  e.  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f }  <->  ( (  .1.  `  Y )  e.  ( Y H Y )  /\  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
2322simprbi 451 . . . 4  |-  ( (  .1.  `  Y )  e.  { g  e.  ( Y H Y )  |  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( g (
<. x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f }  ->  A. x  e.  B  A. f  e.  ( x H Y ) ( (  .1.  `  Y )
( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  f )
2418, 23syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. f  e.  (
x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f )
25 oveq1 6088 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x H Y )  =  ( X H Y ) )
26 opeq1 3984 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  <. x ,  Y >.  =  <. X ,  Y >. )
2726oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( <. x ,  Y >.  .x. 
Y )  =  (
<. X ,  Y >.  .x. 
Y ) )
2827oveqd 6098 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
(  .1.  `  Y
) ( <. x ,  Y >.  .x.  Y ) f )  =  ( (  .1.  `  Y
) ( <. X ,  Y >.  .x.  Y )
f ) )
2928eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  ( (  .1.  `  Y ) (
<. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
3025, 29raleqbidv 2916 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. f  e.  (
x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
3130rspcv 3048 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  A. f  e.  (
x H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <.
x ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f ) )
322, 24, 31sylc 58 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f )
33 oveq2 6089 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(  .1.  `  Y
) ( <. X ,  Y >.  .x.  Y )
f )  =  ( (  .1.  `  Y
) ( <. X ,  Y >.  .x.  Y ) F ) )
34 id 20 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  f  =  F )
3533, 34eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) f )  =  f  <->  ( (  .1.  `  Y ) (
<. X ,  Y >.  .x. 
Y ) F )  =  F ) )
3635rspcv 3048 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( A. f  e.  ( X H Y ) ( (  .1.  `  Y
) ( <. X ,  Y >.  .x.  Y )
f )  =  f  ->  ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) F )  =  F ) )
371, 32, 36sylc 58 1  |-  ( ph  ->  ( (  .1.  `  Y ) ( <. X ,  Y >.  .x. 
Y ) F )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E!wreu 2707   {crab 2709   <.cop 3817   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   Basecbs 13469    Hom chom 13540  compcco 13541   Catccat 13889   Idccid 13890
This theorem is referenced by:  oppccatid  13945  sectcan  13981  sectco  13982  sectmon  14003  monsect  14004  subccatid  14043  fucidcl  14162  fuclid  14163  invfuc  14171  arwlid  14227  xpccatid  14285  evlfcl  14319  curf1cl  14325  curf2cl  14328  curfcl  14329  curfuncf  14335  uncfcurf  14336  hofcl  14356  yon12  14362  yon2  14363  yonedalem3b  14376  yonedainv  14378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-cat 13893  df-cid 13894
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