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Theorem catrid 13910
Description: Right identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catidcl.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
catidcl.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
catidcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catlid.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catlid.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catlid.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
catrid  |-  ( ph  ->  ( F ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F )

Proof of Theorem catrid
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catlid.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
2 catlid.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
3 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f )
43ralimi 2782 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( X H X )  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
65ss2rabi 3426 . . . . 5  |-  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) }  C_  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f }
7 catidcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  C
)
8 catidcl.h . . . . . . 7  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
9 catlid.o . . . . . . 7  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 catidcl.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
11 catidcl.i . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( Id `  C )
12 catidcl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
137, 8, 9, 10, 11, 12cidval 13903 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  =  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
147, 8, 9, 10, 12catideu 13901 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
15 riotacl2 6564 . . . . . . 7  |-  ( E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( X H X )  | 
A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( X H X )  | 
A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
1713, 16eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
186, 17sseldi 3347 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f } )
19 oveq2 6090 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) ) )
2019eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X )
)  =  f ) )
21202ralbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f  <->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
2221elrab 3093 . . . . 5  |-  ( (  .1.  `  X )  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f }  <->  ( (  .1.  `  X )  e.  ( X H X )  /\  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
2322simprbi 452 . . . 4  |-  ( (  .1.  `  X )  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f }  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f )
2418, 23syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f )
25 oveq2 6090 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X H y )  =  ( X H Y ) )
26 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( <. X ,  X >.  .x.  y )  =  (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) )
2726oveqd 6099 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) ) )
2827eqeq1d 2445 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X ) )  =  f  <->  ( f (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
2925, 28raleqbidv 2917 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
3029rspcv 3049 . . 3  |-  ( Y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
312, 24, 30sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f )
32 oveq1 6089 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  ( F ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) ) )
33 id 21 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  f  =  F )
3432, 33eqeq12d 2451 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f  <->  ( F (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F ) )
3534rspcv 3049 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  ->  ( F (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F ) )
361, 31, 35sylc 59 1  |-  ( ph  ->  ( F ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E!wreu 2708   {crab 2710   <.cop 3818   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   iota_crio 6543   Basecbs 13470    Hom chom 13541  compcco 13542   Catccat 13890   Idccid 13891
This theorem is referenced by:  oppccatid  13946  sectcan  13982  monsect  14005  subccatid  14044  fucidcl  14163  fucrid  14165  invfuc  14172  arwrid  14229  xpccatid  14286  curf2cl  14329  curfuncf  14336  uncfcurf  14337  hofcl  14357  yonedalem3b  14377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-riota 6550  df-cat 13894  df-cid 13895
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