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Theorem catrid 13635
Description: Right identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
catidcl.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
catidcl.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
catidcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
catidcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
catlid.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
catlid.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
catlid.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
catrid  |-  ( ph  ->  ( F ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F )

Proof of Theorem catrid
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catlid.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X H Y ) )
2 catlid.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
3 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f )
43ralimi 2652 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f )
54a1i 10 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( X H X )  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
65ss2rabi 3289 . . . . 5  |-  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) }  C_  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f }
7 catidcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  C
)
8 catidcl.h . . . . . . 7  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
9 catlid.o . . . . . . 7  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 catidcl.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
11 catidcl.i . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( Id `  C )
12 catidcl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
137, 8, 9, 10, 11, 12cidval 13628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  =  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) ) )
147, 8, 9, 10, 12catideu 13626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )
15 riotacl2 6360 . . . . . . 7  |-  ( E! g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f )  ->  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <. y ,  X >.  .x.  X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( X H X )  | 
A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
1614, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( X H X ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) )  e.  {
g  e.  ( X H X )  | 
A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
1713, 16eqeltrd 2390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  ( A. f  e.  (
y H X ) ( g ( <.
y ,  X >.  .x. 
X ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f ) } )
186, 17sseldi 3212 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f } )
19 eqidd 2317 . . . . . . 7  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  B  =  B )
20 eqidd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  ( X H y )  =  ( X H y ) )
21 oveq2 5908 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) ) )
2221eqeq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X )
)  =  f ) )
2320, 22raleqbidv 2782 . . . . . . 7  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  ( A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
2419, 23raleqbidv 2782 . . . . . 6  |-  ( g  =  (  .1.  `  X )  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
g )  =  f  <->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
2524elrab 2957 . . . . 5  |-  ( (  .1.  `  X )  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f }  <->  ( (  .1.  `  X )  e.  ( X H X )  /\  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
2625simprbi 450 . . . 4  |-  ( (  .1.  `  X )  e.  { g  e.  ( X H X )  |  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f (
<. X ,  X >.  .x.  y ) g )  =  f }  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f )
2718, 26syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f )
28 oveq2 5908 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X H y )  =  ( X H Y ) )
29 oveq2 5908 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( <. X ,  X >.  .x.  y )  =  (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) )
3029oveqd 5917 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) ) )
3130eqeq1d 2324 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x.  y ) (  .1.  `  X ) )  =  f  <->  ( f (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
3228, 31raleqbidv 2782 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  <->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  f ) )
3332rspcv 2914 . . 3  |-  ( Y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  ( X H y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f ) )
342, 27, 33sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f )
35 oveq1 5907 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  ( F ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) ) )
36 id 19 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  f  =  F )
3735, 36eqeq12d 2330 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  f  <->  ( F (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F ) )
3837rspcv 2914 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( A. f  e.  ( X H Y ) ( f ( <. X ,  X >.  .x.  Y )
(  .1.  `  X
) )  =  f  ->  ( F (
<. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F ) )
391, 34, 38sylc 56 1  |-  ( ph  ->  ( F ( <. X ,  X >.  .x. 
Y ) (  .1.  `  X ) )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E!wreu 2579   {crab 2581   <.cop 3677   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   iota_crio 6339   Basecbs 13195    Hom chom 13266  compcco 13267   Catccat 13615   Idccid 13616
This theorem is referenced by:  oppccatid  13671  sectcan  13707  monsect  13730  subccatid  13769  fucidcl  13888  fucrid  13890  invfuc  13897  arwrid  13954  xpccatid  14011  curf2cl  14054  curfuncf  14061  uncfcurf  14062  hofcl  14082  yonedalem3b  14102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-riota 6346  df-cat 13619  df-cid 13620
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