MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1cat Unicode version

Theorem cats1cat 11754
Description: Closure of concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
cats1cat.2  |-  A  e. Word  _V
cats1cat.3  |-  S  e. Word  _V
cats1cat.4  |-  C  =  ( B concat  <" X "> )
cats1cat.5  |-  B  =  ( A concat  S )
Assertion
Ref Expression
cats1cat  |-  C  =  ( A concat  T )

Proof of Theorem cats1cat
StepHypRef Expression
1 cats1cat.5 . . . 4  |-  B  =  ( A concat  S )
21oveq1i 6032 . . 3  |-  ( B concat  <" X "> )  =  ( ( A concat  S ) concat  <" X "> )
3 cats1cat.2 . . . 4  |-  A  e. Word  _V
4 cats1cat.3 . . . 4  |-  S  e. Word  _V
5 s1cli 11686 . . . 4  |-  <" X ">  e. Word  _V
6 ccatass 11679 . . . 4  |-  ( ( A  e. Word  _V  /\  S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V )  ->  ( ( A concat  S ) concat  <" X "> )  =  ( A concat  ( S concat  <" X "> ) ) )
73, 4, 5, 6mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( A concat  S ) concat  <" X "> )  =  ( A concat  ( S concat  <" X "> ) )
82, 7eqtri 2409 . 2  |-  ( B concat  <" X "> )  =  ( A concat  ( S concat  <" X "> ) )
9 cats1cat.4 . 2  |-  C  =  ( B concat  <" X "> )
10 cats1cld.1 . . 3  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
1110oveq2i 6033 . 2  |-  ( A concat  T )  =  ( A concat  ( S concat  <" X "> ) )
128, 9, 113eqtr4i 2419 1  |-  C  =  ( A concat  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901  (class class class)co 6022  Word cword 11646   concat cconcat 11647   <"cs1 11648
This theorem is referenced by:  s1s2  11799  s1s3  11800  s1s4  11801  s1s5  11802  s1s6  11803  s1s7  11804  s2s2  11805  s4s2  11806  s4s3  11807  s4s4  11808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-hash 11548  df-word 11652  df-concat 11653  df-s1 11654
  Copyright terms: Public domain W3C validator