MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fv Unicode version

Theorem cats1fv 11525
Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
cats1cli.2  |-  S  e. Word  _V
cats1fvn.3  |-  ( # `  S )  =  M
cats1fv.4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( S `  N )  =  Y )
cats1fv.5  |-  N  e. 
NN0
cats1fv.6  |-  N  < 
M
Assertion
Ref Expression
cats1fv  |-  ( Y  e.  V  ->  ( T `  N )  =  Y )

Proof of Theorem cats1fv
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
21fveq1i 5542 . . 3  |-  ( T `
 N )  =  ( ( S concat  <" X "> ) `  N
)
3 cats1cli.2 . . . 4  |-  S  e. Word  _V
4 s1cli 11459 . . . 4  |-  <" X ">  e. Word  _V
5 cats1fv.5 . . . . . 6  |-  N  e. 
NN0
6 nn0uz 10278 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6eleqtri 2368 . . . . 5  |-  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
8 lencl 11437 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  _V  ->  ( # `  S )  e.  NN0 )
9 nn0z 10062 . . . . . 6  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
103, 8, 9mp2b 9 . . . . 5  |-  ( # `  S )  e.  ZZ
11 cats1fv.6 . . . . . 6  |-  N  < 
M
12 cats1fvn.3 . . . . . 6  |-  ( # `  S )  =  M
1311, 12breqtrri 4064 . . . . 5  |-  N  < 
( # `  S )
14 elfzo2 10894 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0..^ (
# `  S )
)  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( # `  S
) ) )
157, 10, 13, 14mpbir3an 1134 . . . 4  |-  N  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )
16 ccatval1 11447 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S concat  <" X "> ) `  N )  =  ( S `  N ) )
173, 4, 15, 16mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( S concat  <" X "> ) `  N )  =  ( S `  N )
182, 17eqtri 2316 . 2  |-  ( T `
 N )  =  ( S `  N
)
19 cats1fv.4 . 2  |-  ( Y  e.  V  ->  ( S `  N )  =  Y )
2018, 19syl5eq 2340 1  |-  ( Y  e.  V  ->  ( T `  N )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753    < clt 8883   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246  ..^cfzo 10886   #chash 11353  Word cword 11419   concat cconcat 11420   <"cs1 11421
This theorem is referenced by:  s2fv0  11551  s3fv0  11554  s3fv1  11555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427
  Copyright terms: Public domain W3C validator