MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fvn Unicode version

Theorem cats1fvn 11508
Description: The last symbol of a concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
cats1cli.2  |-  S  e. Word  _V
cats1fvn.3  |-  ( # `  S )  =  M
Assertion
Ref Expression
cats1fvn  |-  ( X  e.  V  ->  ( T `  M )  =  X )

Proof of Theorem cats1fvn
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
2 cats1fvn.3 . . . . . 6  |-  ( # `  S )  =  M
32oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( 0  +  ( # `  S
) )  =  ( 0  +  M )
4 cats1cli.2 . . . . . . . . 9  |-  S  e. Word  _V
5 lencl 11421 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  _V  ->  ( # `  S )  e.  NN0 )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  S )  e.  NN0
72, 6eqeltrri 2354 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
87nn0cni 9977 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
98addid2i 9000 . . . . 5  |-  ( 0  +  M )  =  M
103, 9eqtr2i 2304 . . . 4  |-  M  =  ( 0  +  (
# `  S )
)
111, 10fveq12i 5530 . . 3  |-  ( T `
 M )  =  ( ( S concat  <" X "> ) `  (
0  +  ( # `  S ) ) )
12 s1cli 11443 . . . 4  |-  <" X ">  e. Word  _V
13 s1len 11444 . . . . . 6  |-  ( # `  <" X "> )  =  1
14 1nn 9757 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1513, 14eqeltri 2353 . . . . 5  |-  ( # `  <" X "> )  e.  NN
16 lbfzo0 10903 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  <" X "> ) )  <->  ( # `  <" X "> )  e.  NN )
1715, 16mpbir 200 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" X "> ) )
18 ccatval3 11433 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" X "> ) ) )  -> 
( ( S concat  <" X "> ) `  (
0  +  ( # `  S ) ) )  =  ( <" X "> `  0 )
)
194, 12, 17, 18mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( S concat  <" X "> ) `  ( 0  +  ( # `  S
) ) )  =  ( <" X "> `  0 )
2011, 19eqtri 2303 . 2  |-  ( T `
 M )  =  ( <" X "> `  0 )
21 s1fv 11446 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( <" X "> `  0 )  =  X )
2220, 21syl5eq 2327 1  |-  ( X  e.  V  ->  ( T `  M )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   NN0cn0 9965  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   concat cconcat 11404   <"cs1 11405
This theorem is referenced by:  s2fv1  11536  s3fv2  11540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411
  Copyright terms: Public domain W3C validator