MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fvn Structured version   Unicode version

Theorem cats1fvn 11824
Description: The last symbol of a concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
cats1cli.2  |-  S  e. Word  _V
cats1fvn.3  |-  ( # `  S )  =  M
Assertion
Ref Expression
cats1fvn  |-  ( X  e.  V  ->  ( T `  M )  =  X )

Proof of Theorem cats1fvn
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
2 cats1fvn.3 . . . . . 6  |-  ( # `  S )  =  M
32oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( 0  +  ( # `  S
) )  =  ( 0  +  M )
4 cats1cli.2 . . . . . . . . 9  |-  S  e. Word  _V
5 lencl 11737 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  _V  ->  ( # `  S )  e.  NN0 )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  S )  e.  NN0
72, 6eqeltrri 2509 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
87nn0cni 10235 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
98addid2i 9256 . . . . 5  |-  ( 0  +  M )  =  M
103, 9eqtr2i 2459 . . . 4  |-  M  =  ( 0  +  (
# `  S )
)
111, 10fveq12i 5735 . . 3  |-  ( T `
 M )  =  ( ( S concat  <" X "> ) `  (
0  +  ( # `  S ) ) )
12 s1cli 11759 . . . 4  |-  <" X ">  e. Word  _V
13 s1len 11760 . . . . . 6  |-  ( # `  <" X "> )  =  1
14 1nn 10013 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1513, 14eqeltri 2508 . . . . 5  |-  ( # `  <" X "> )  e.  NN
16 lbfzo0 11172 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  <" X "> ) )  <->  ( # `  <" X "> )  e.  NN )
1715, 16mpbir 202 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" X "> ) )
18 ccatval3 11749 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  <" X "> ) ) )  -> 
( ( S concat  <" X "> ) `  (
0  +  ( # `  S ) ) )  =  ( <" X "> `  0 )
)
194, 12, 17, 18mp3an 1280 . . 3  |-  ( ( S concat  <" X "> ) `  ( 0  +  ( # `  S
) ) )  =  ( <" X "> `  0 )
2011, 19eqtri 2458 . 2  |-  ( T `
 M )  =  ( <" X "> `  0 )
21 s1fv 11762 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( <" X "> `  0 )  =  X )
2220, 21syl5eq 2482 1  |-  ( X  e.  V  ->  ( T `  M )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995   NNcn 10002   NN0cn0 10223  ..^cfzo 11137   #chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720   <"cs1 11721
This theorem is referenced by:  s2fv1  11852  s3fv2  11856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727
  Copyright terms: Public domain W3C validator