MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1len Unicode version

Theorem cats1len 11557
Description: The length of concatenation with a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
cats1cli.2  |-  S  e. Word  _V
cats1fvn.3  |-  ( # `  S )  =  M
cats1len.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
cats1len  |-  ( # `  T )  =  N

Proof of Theorem cats1len
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . 3  |-  T  =  ( S concat  <" X "> )
21fveq2i 5566 . 2  |-  ( # `  T )  =  (
# `  ( S concat  <" X "> ) )
3 cats1cli.2 . . . . 5  |-  S  e. Word  _V
4 s1cli 11490 . . . . 5  |-  <" X ">  e. Word  _V
5 ccatlen 11477 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  _V  /\  <" X ">  e. Word  _V )  ->  ( # `
 ( S concat  <" X "> ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  <" X "> ) ) )
63, 4, 5mp2an 653 . . . 4  |-  ( # `  ( S concat  <" X "> ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  <" X "> ) )
7 cats1fvn.3 . . . . 5  |-  ( # `  S )  =  M
8 s1len 11491 . . . . 5  |-  ( # `  <" X "> )  =  1
97, 8oveq12i 5912 . . . 4  |-  ( (
# `  S )  +  ( # `  <" X "> )
)  =  ( M  +  1 )
106, 9eqtri 2336 . . 3  |-  ( # `  ( S concat  <" X "> ) )  =  ( M  +  1 )
11 cats1len.4 . . 3  |-  ( M  +  1 )  =  N
1210, 11eqtri 2336 . 2  |-  ( # `  ( S concat  <" X "> ) )  =  N
132, 12eqtri 2336 1  |-  ( # `  T )  =  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1c1 8783    + caddc 8785   #chash 11384  Word cword 11450   concat cconcat 11451   <"cs1 11452
This theorem is referenced by:  s2len  11584  s3len  11588  s4len  11589  s5len  11590  s6len  11591  s7len  11592  s8len  11593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-hash 11385  df-word 11456  df-concat 11457  df-s1 11458
  Copyright terms: Public domain W3C validator