MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catstr Structured version   Unicode version

Theorem catstr 14146
Description: A category structure is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
catstr  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .x.  >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.

Proof of Theorem catstr
StepHypRef Expression
1 1nn 10003 . 2  |-  1  e.  NN
2 basendx 13506 . 2  |-  ( Base `  ndx )  =  1
3 4nn0 10232 . . 3  |-  4  e.  NN0
4 1nn0 10229 . . 3  |-  1  e.  NN0
5 1lt10 10178 . . 3  |-  1  <  10
61, 3, 4, 5declti 10399 . 2  |-  1  < ; 1
4
7 4nn 10127 . . 3  |-  4  e.  NN
84, 7decnncl 10387 . 2  |- ; 1 4  e.  NN
9 homndx 13634 . 2  |-  (  Hom  `  ndx )  = ; 1 4
10 5nn 10128 . . 3  |-  5  e.  NN
11 4lt5 10140 . . 3  |-  4  <  5
124, 3, 10, 11declt 10395 . 2  |- ; 1 4  < ; 1 5
134, 10decnncl 10387 . 2  |- ; 1 5  e.  NN
14 ccondx 13636 . 2  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
151, 2, 6, 8, 9, 12, 13, 14strle3 13554 1  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .x.  >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   {ctp 3808   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   1c1 8983   4c4 10043   5c5 10044  ;cdc 10374   Struct cstr 13457   ndxcnx 13458   Basecbs 13461    Hom chom 13532  compcco 13533
This theorem is referenced by:  fuccofval  14148  fucbas  14149  fuchom  14150  setcbas  14225  setchomfval  14226  setccofval  14229  catcbas  14244  catchomfval  14245  catccofval  14247  xpcbas  14267  xpchomfval  14268  xpccofval  14271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-hom 13545  df-cco 13546
  Copyright terms: Public domain W3C validator