Theorem cau2i 8666

Description: Two ways to express that a sequence meets the Cauchy criterion. Remark in [Gleason] p. 181. R can be either < or <_.

Hypotheses

Ref	Expression
cau2.1	|- F:NN-->CC
cau2.2	|- (x e. RR -> (0 < x -> 0Rx))

Assertion

Ref	Expression
cau2i	|- (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))

Distinct variable groups:   x,y,z   y,R,z

Proof of Theorem cau2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau2.2	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> (0 < x -> 0Rx))
2	1	imp 489	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> 0Rx)
3		fveq2 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = z -> (F` y) = (F` z))
4	3	opreq2d 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = z -> ((F` z) - (F` y)) = ((F` z) - (F` z)))
5		cau2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F:NN-->CC
6	5	ffvelrni 4917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. NN -> (F` z) e. CC)
7		subid 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` z) e. CC -> ((F` z) - (F` z)) = 0)
8	6, 7	syl 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. NN -> ((F` z) - (F` z)) = 0)
9	4, 8	sylan9eqr 2228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. NN /\ y = z) -> ((F` z) - (F` y)) = 0)
10	9	fveq2d 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) = (abs` 0))
11		abs0 8629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (abs` 0) = 0
12	10, 11	syl6eq 2222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) = 0)
13	12	breq1d 3549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. NN /\ y = z) -> ((abs` ((F` z) - (F` y)))Rx <-> 0Rx))
14	13	biimprcd 247	. . . . . . . . . . . 12 |- (0Rx -> ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
15	14	exp3a 496	. . . . . . . . . . 11 |- (0Rx -> (z e. NN -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
16	2, 15	syl 13	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (z e. NN -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
17	16	imp 489	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ z e. NN) -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
18	17	adantlr 834	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
19	18	biantrud 1001	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) /\ (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))))
20		jaob 879	. . . . . . 7 |- (((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) /\ (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
21	19, 20	syl6bbr 326	. . . . . 6 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
22		nnre 7547	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. RR)
23		nnre 7547	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> z e. RR)
24		leloe 6979	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
25	22, 23, 24	syl2an 699	. . . . . . . 8 |- ((y e. NN /\ z e. NN) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
26	25	adantll 832	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
27	26	imbi1d 381	. . . . . 6 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
28	21, 27	bitr4d 315	. . . . 5 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
29	28	ralbidva 2399	. . . 4 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) -> (A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
30	29	rexbidva 2400	. . 3 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
31	30	pm5.74da 803	. 2 |- (x e. RR -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))))
32	31	ralbiia 2413	1 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 231   \/ wo 432   /\ wa 433   = wceq 1615   e. wcel 1617  A.wral 2385  E.wrex 2386   class class class wbr 3539  -->wf 4159  ` cfv 4163  (class class class)co 5020  CCcc 6827  RRcr 6828  0cc0 6829   <_ cle 6943   < clt 6947   - cmin 7091  NNcn 7094  abscabs 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-cnex 6885  ax-resscn 6886  ax-1cn 6887  ax-icn 6888  ax-addcl 6889  ax-addrcl 6890  ax-mulcl 6891  ax-mulrcl 6892  ax-mulcom 6893  ax-addass 6894  ax-mulass 6895  ax-distr 6896  ax-i2m1 6897  ax-1ne0 6898  ax-1rid 6899  ax-rnegex 6900  ax-rrecex 6901  ax-cnre 6902  ax-pre-lttri 6903  ax-pre-lttrn 6904  ax-pre-ltadd 6905  ax-pre-mulgt0 6906  ax-pre-sup 6907  ax-mulopr 6909

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-nel 2298  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-int 3433  df-iun 3470  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-mpt 5138  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-iota 5259  df-rdg 5344  df-er 5519  df-en 5631  df-dom 5632  df-sdom 5633  df-undef 5769  df-riota 5773  df-sup 5932  df-pnf 6948  df-mnf 6949  df-xr 6950  df-ltxr 6951  df-le 6952  df-sub 7111  df-neg 7113  df-div 7325  df-n 7543  df-2 7589  df-n0 7761  df-z 7798  df-seq1 8210  df-exp 8312  df-sqr 8420  df-re 8501  df-im 8502  df-cj 8503  df-abs 8504

Copyright terms: Public domain