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Theorem cau3lem 12150
Description: Lemma for cau3 12151. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1  |-  Z  C_  ZZ
cau3lem.2  |-  ( ta 
->  ps )
cau3lem.3  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
cau3lem.4  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( ps 
<->  th ) )
cau3lem.5  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
cau3lem.6  |-  ( (
ph  /\  th  /\  ch )  ->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
cau3lem.7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th )  /\  ( ch  /\  x  e.  RR ) )  ->  (
( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
Assertion
Ref Expression
cau3lem  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, ch    x, k, D, m   
k, F, m, x   
j, k, m, x,
ph    k, G, m, x    ps, m, x    ta, x    th, k    x, Z
Allowed substitution hints:    ps( j, k)    ch( x, j)    th( x, j, m)    ta( j, k, m)    D( j)    F( j)    G( j)    Z( j, k, m)

Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z
) )
21anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  ( ta  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  z ) ) )
32rexralbidv 2741 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z ) ) )
43cbvralv 2924 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z ) )
5 rphalfcl 10628 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
6 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  z  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )
76anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  <->  ( ta  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
87rexralbidv 2741 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
z )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
98rspcv 3040 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
105, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
1110adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ta 
->  ps )
1312ralimi 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
14 r19.26 2830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
15 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( ps 
<->  th ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  ( ps 
<->  th ) )
1815oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )
1918fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) ) )
2019breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )
2117, 20anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( th  /\  ( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
2221cbvralv 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
2322biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ps  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
2514, 24syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
2625expdimp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
27 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  ZZ
2827sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
29 uzid 10492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
31 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
32 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3433rspcva 3042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3530, 34sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3635adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3726, 36jctild 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( ch  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) ) )
38 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ph )
39 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  th )
40 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ch )
41 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  th  /\  ch )  ->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  =  ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) ) )
4342breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  <-> 
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
4443anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
45 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ps )
46 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  x  e.  RR+ )
4746rpred 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  x  e.  RR )
48 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th )  /\  ( ch  /\  x  e.  RR ) )  ->  (
( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
4938, 45, 39, 40, 47, 48syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
5044, 49sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
5150exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) ) )
5251impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ( ps  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5352an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ch  /\  th ) )  ->  (
( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5453anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  /\  th )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5554expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  -> 
( ( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5655ralimdv 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5756impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )
5857an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )
5958expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
60 uzss 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
61 ssralv 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>= `  j )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6359, 62sylan9 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  /\  ps )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6463an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6564expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6665ralimdva 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
6766ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
6867com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ps  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
7014, 69syl5bir 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ch 
/\  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7170expdimp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7237, 71mpdd 38 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
7313, 72sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ta )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
7473imdistanda 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
75 r19.26 2830 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
76 r19.26 2830 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
7774, 75, 763imtr4g 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7877reximdva 2810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7911, 78syld 42 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
8079ralrimdva 2788 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
z )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
814, 80syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
82 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
8331oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )
8483fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
8584breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
8682, 85raleqbidv 2908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
8786rspcv 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
8887ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
89 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9089oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )
9190fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) ) )
9291breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x
) )
9392cbvralv 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x )
9434anim2i 553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps ) )  ->  ( ph  /\  ch ) )
9594anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( ph  /\ 
ch ) )
96 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
97 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
9897breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) )
99983expia 1155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ch )  ->  ( ps  ->  (
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
10099ralimdv 2777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ch )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
10195, 96, 100sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
102 ralbi 2834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10493, 103syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10588, 104sylibd 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10613, 105sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
107106imdistanda 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ta 
/\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ta 
/\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
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`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
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 j ) ) )  <  x ) ) )
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/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
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( G `  (
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ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
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) ) )  < 
x ) ) )
111110reximdva 2810 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
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11381, 112impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
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( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
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x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981    < clt 9112    / cdiv 9669   2c2 10041   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604
This theorem is referenced by:  cau3  12151  iscau3  19223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605
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