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Theorem cau3lem 11838
Description: Lemma for cau3 11839. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1  |-  Z  C_  ZZ
cau3lem.2  |-  ( ta 
->  ps )
cau3lem.3  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
cau3lem.4  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( ps 
<->  th ) )
cau3lem.5  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
cau3lem.6  |-  ( (
ph  /\  th  /\  ch )  ->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
cau3lem.7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th )  /\  ( ch  /\  x  e.  RR ) )  ->  (
( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
Assertion
Ref Expression
cau3lem  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, ch    x, k, D, m   
k, F, m, x   
j, k, m, x,
ph    k, G, m, x    ps, m, x    ta, x    th, k    x, Z
Allowed substitution hints:    ps( j, k)    ch( x, j)    th( x, j, m)    ta( j, k, m)    D( j)    F( j)    G( j)    Z( j, k, m)

Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z
) )
21anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  ( ta  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  z ) ) )
32rexralbidv 2587 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z ) ) )
43cbvralv 2764 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z ) )
5 rphalfcl 10378 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
6 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  z  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )
76anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  <->  ( ta  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
87rexralbidv 2587 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
z )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
98rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
105, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
1110adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ta 
->  ps )
1312ralimi 2618 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
14 r19.26 2675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
15 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( ps 
<->  th ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  ( ps 
<->  th ) )
1815oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )
1918fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) ) )
2019breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )
2117, 20anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( th  /\  ( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
2221cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
2322biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ps  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
2514, 24syl5bir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) )
2625expdimp 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
27 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  ZZ
2827sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
29 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
31 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
32 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3433rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3530, 34sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3635adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ch )
3726, 36jctild 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( ch  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) ) ) )
38 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ph )
39 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  th )
40 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ch )
41 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  th  /\  ch )  ->  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  =  ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) ) )
4342breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  <-> 
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
4443anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
45 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ps )
46 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  x  e.  RR+ )
4746rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  x  e.  RR )
48 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th )  /\  ( ch  /\  x  e.  RR ) )  ->  (
( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
4938, 45, 39, 40, 47, 48syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
5044, 49sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
5150exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) ) )
5251impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  th )
)  /\  ( ps  /\  ( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5352an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ch  /\  th ) )  ->  (
( G `  (
( F `  m
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5453anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  /\  th )  ->  ( ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5554expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  -> 
( ( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5655ralimdv 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ch )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
5756impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )
5857an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )
5958expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
60 uzss 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
61 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>= `  j )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6359, 62sylan9 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  /\  ps )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6463an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  /\  ps )  ->  ( ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6564expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
6665ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
6766ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ps  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
6867com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ps  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( th 
/\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
7014, 69syl5bir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ch 
/\  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( th  /\  ( G `
 ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7170expdimp 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( ( ch  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( th  /\  ( G `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7237, 71mpdd 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
7313, 72sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ta )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
7473imdistanda 674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
75 r19.26 2675 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
76 r19.26 2675 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
7774, 75, 763imtr4g 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7877reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ta 
/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
7911, 78syld 40 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
8079ralrimdva 2633 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
z )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
814, 80syl5bi 208 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ta  /\  ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
82 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
8331oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )
8483fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
8584breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
8682, 85raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
8786rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
8887ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x ) )
89 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9089oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )
9190fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) ) )
9291breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x
) )
9392cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x )
9434anim2i 552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps ) )  ->  ( ph  /\  ch ) )
9594anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( ph  /\ 
ch ) )
96 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
97 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
9897breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ch  /\  ps )  ->  ( ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) )
99983expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ch )  ->  ( ps  ->  (
( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
10099ralimdv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ch )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( G `  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
10195, 96, 100sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
102 ralbi 2679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  <  x  <->  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10493, 103syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10588, 104sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
10613, 105sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( G `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) )
107106imdistanda 674 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ta 
/\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
 ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ta 
/\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
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`  k ) ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ta  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  (
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/\  ( G `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
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( G `  (
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x ) ) )
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( ta  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( G `
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x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    < clt 8867    / cdiv 9423   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  cau3  11839  iscau3  18704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355
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