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Theorem cau4 12152
Description: Change the base of a Cauchy criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cau4.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
Assertion
Ref Expression
cau4  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, N, k, x    j, Z, k, x    j, W, k, x

Proof of Theorem cau4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10485 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 cau3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32rexuz3 12144 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
5 eluzelz 10488 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
6 cau4.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
76rexuz3 12144 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
94, 8bitr4d 248 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
109, 2eleq2s 2527 . . 3  |-  ( N  e.  Z  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
1110ralbidv 2717 . 2  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y ) ) )  <  x ) ) )
122cau3 12151 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y ) ) )  <  x ) )
136cau3 12151 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y ) ) )  <  x ) )
1411, 12, 133bitr4g 280 1  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980    < clt 9112    - cmin 9283   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   abscabs 12031
This theorem is referenced by:  caurcvg2  12463  caucvgb  12465  cvgcmp  12587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
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