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Theorem caubnd 11858
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caubnd  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
Distinct variable groups:    j, k, x, y, F    j, M, k, x    j, Z, k, x, y
Allowed substitution hint:    M( y)

Proof of Theorem caubnd
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abscl 11779 . . . 4  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
21ralimi 2631 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
3 cau3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
43r19.29uz 11850 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
54ex 423 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
65ralimdv 2635 . . . 4  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
73caubnd2 11857 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)
86, 7syl6 29 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) )
9 fzssuz 10848 . . . . . . . 8  |-  ( M ... j )  C_  ( ZZ>= `  M )
109, 3sseqtr4i 3224 . . . . . . 7  |-  ( M ... j )  C_  Z
11 ssralv 3250 . . . . . . 7  |-  ( ( M ... j ) 
C_  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
13 fzfi 11050 . . . . . . . 8  |-  ( M ... j )  e. 
Fin
14 fimaxre3 9719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ... j
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x )
1513, 14mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x )
16 peano2re 9001 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
1716adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
18 ltp1 9610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
2016adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
21 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2220, 21mpd3an3 1278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2319, 22mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
2423expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
2524ralimdv 2635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( ( abs `  ( F `  k
) )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2625impcom 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  A. k  e.  ( M ... j ) ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
27 ralim 2627 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
( x  +  1 ) )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  x  ->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) ) )
29 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
x  +  1 ) ) )
3029ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  <->  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( x  +  1 ) ) )
3130rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( x  + 
1 ) )  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w )
3217, 28, 31ee12an 1353 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
3332rexlimdva 2680 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <_  x  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
3415, 33mpd 14 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w )
3512, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )
36 max1 10530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  w  <_  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )
37363adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  w  <_  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w ) )
38 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
39 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  w  e.  RR )
40 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR )
4140ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR )
42413adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )
43 ltletr 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  /\  w  <_  if ( w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
4438, 39, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  w  <_  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
4537, 44mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
46 max2 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  <_  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )
47463adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  z  <_  if ( w  <_ 
z ,  z ,  w ) )
48 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
49 ltletr 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  <  z  /\  z  <_  if ( w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5038, 48, 42, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  z  /\  z  <_  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
5147, 50mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5245, 51jaod 369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) )
53523expia 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) ) )
5453ralimdv 2635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  A. k  e.  Z  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) ) ) )
55 ralim 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  Z  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w ) )  ->  ( A. k  e.  Z  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5654, 55syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) ) )
57 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5857ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  -> 
( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) ) )
5958rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( w  <_ 
z ,  z ,  w )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
6059ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( w  <_  z ,  z ,  w
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  if ( w  <_  z ,  z ,  w )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
6141, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  if (
w  <_  z , 
z ,  w )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
6256, 61syl6d 64 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) ) )
63 uzssz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
643, 63eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  C_  ZZ
6564sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
6664sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
67 uztric 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
6865, 66, 67syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
69 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
7069, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
71 elfzuzb 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( M ... j )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
7271baib 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( M ... j
)  <->  j  e.  (
ZZ>= `  k ) ) )
7370, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  ( M ... j )  <-> 
j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
7473orbi1d 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( k  e.  ( M ... j
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  <->  ( j  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) ) )
7568, 74mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
7675ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  Z  -> 
( k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) ) )
77 pm3.48 806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)  ->  ( (
k  e.  ( M ... j )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z ) ) )
7876, 77syl9 66 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
)  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)  ->  ( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  \/  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) ) ) )
7978alimdv 1611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) )  ->  A. k ( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) ) )
80 df-ral 2561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  <->  A. k ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
) )
81 df-ral 2561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z  <->  A. k ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
)
8280, 81anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  <->  ( A. k
( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  A. k ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) )
83 19.26 1583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
z ) )  <->  ( A. k ( k  e.  ( M ... j
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  w
)  /\  A. k
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
) )
8482, 83bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  <->  A. k ( ( k  e.  ( M ... j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  w )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  z )
) )
85 df-ral 2561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  Z  (
( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  <->  A. k
( k  e.  Z  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z ) ) )
8679, 84, 853imtr4g 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) ) )
87863impib 1149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
w  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
) )
8887imim1i 54 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )  -> 
( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  z
)  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
)
89883expd 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  \/  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )  -> 
( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) )
9062, 89syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( j  e.  Z  -> 
( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9190com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9291expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9392com3r 73 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( w  e.  RR  ->  ( (
z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9493com34 77 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( w  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  w  ->  ( ( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
) ) ) )
9594rexlimdv 2679 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( E. w  e.  RR  A. k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( F `  k )
)  <  w  ->  ( ( z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) ) ) )
9635, 95mpd 14 . . . 4  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( (
z  e.  RR  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) ) )
9796rexlimdvv 2686 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  ->  ( E. z  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  z  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y ) )
982, 8, 97sylsyld 52 . 2  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y ) )
9998imp 418 1  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  Z  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798   abscabs 11735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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