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Theorem caubnd2 12124
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caubnd2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Distinct variable groups:    j, k, x, y, F    j, M, k, x    j, Z, k, x, y
Allowed substitution hint:    M( y)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 10580 . . 3  |-  1  e.  RR+
2 breq2 4184 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
) )
32anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
43rexralbidv 2718 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
54rspcv 3016 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) ) )
61, 5ax-mp 8 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) )
7 eluzelz 10460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
97, 8eleq2s 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
10 uzid 10464 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
12 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1312ralimi 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
14 fveq2 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1615rspcva 3018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
1711, 13, 16syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
18 abscl 12046 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  j )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
20 1re 9054 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21 readdcl 9037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
2219, 20, 21sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
23 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
24 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
25 abs2dif 12099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <_  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
27 abscl 12046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
2823, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
2924, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR )
3028, 29resubcld 9429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3123, 24subcld 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) )  e.  CC )
32 abscl 12046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
34 lelttr 9129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3520, 34mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3630, 33, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3726, 36mpand 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1 ) )
38 ltsubadd2 9463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
3920, 38mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4028, 29, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( abs `  ( F `  j )
) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4137, 40sylibd 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4241expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4342ralimdv 2753 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4443impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4517, 44mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) )
46 breq2 4184 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4746ralbidv 2694 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4847rspcev 3020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
4922, 45, 48syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5049ex 424 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
) )
5150reximia 2779 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
52 rexcom 2837 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5351, 52sylib 189 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
546, 53syl 16 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   1c1 8955    + caddc 8957    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   abscabs 12002
This theorem is referenced by:  caubnd  12125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004
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