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Theorem caubnd2 11937
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caubnd2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Distinct variable groups:    j, k, x, y, F    j, M, k, x    j, Z, k, x, y
Allowed substitution hint:    M( y)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 10450 . . 3  |-  1  e.  RR+
2 breq2 4108 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
) )
32anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
43rexralbidv 2663 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
54rspcv 2956 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) ) )
61, 5ax-mp 8 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) )
7 eluzelz 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
97, 8eleq2s 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
10 uzid 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
119, 10syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
12 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1312ralimi 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
14 fveq2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1615rspcva 2958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
1711, 13, 16syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
18 abscl 11859 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  j )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
1917, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
20 1re 8927 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21 readdcl 8910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
2219, 20, 21sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
24 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
25 abs2dif 11912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <_  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
27 abscl 11859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
2823, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
2924, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR )
3028, 29resubcld 9301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3123, 24subcld 9247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) )  e.  CC )
32 abscl 11859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
34 lelttr 9002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3520, 34mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3630, 33, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3726, 36mpand 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1 ) )
38 ltsubadd2 9335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
3920, 38mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4028, 29, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( abs `  ( F `  j )
) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4137, 40sylibd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4241expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4342ralimdv 2698 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4443impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4517, 44mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) )
46 breq2 4108 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4746ralbidv 2639 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4847rspcev 2960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
4922, 45, 48syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5049ex 423 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
) )
5150reximia 2724 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
52 rexcom 2777 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5351, 52sylib 188 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
546, 53syl 15 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   1c1 8828    + caddc 8830    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   RR+crp 10446   abscabs 11815
This theorem is referenced by:  caubnd  11938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817
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