Theorem caucvg3a 7164

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). This version shows the explicit value of the limit (which is why we need all the hypotheses) rather than just its existence.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg3a.1	|- F:NN-->CC
caucvg3a.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg3a.3	|- G Fn NN
caucvg3a.4	|- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (F` x)))
caucvg3a.4a	|- R = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (G` y))}
caucvg3a.5	|- H Fn NN
caucvg3a.6	|- (x e. NN -> (H` x) = (Im` (F` x)))
caucvg3a.6a	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (H` y))}
caucvg3a.7	|- D Fn NN
caucvg3a.8	|- (x e. NN -> (D` x) = (i x. (H` x)))

Assertion

Ref	Expression
caucvg3a	|- F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < )))

Distinct variable groups:   x,v,u,F   x,y,z,w,G,v,u   x,H,y,z,w,v,u   x,D,u,v   x,R,z,w   z,S,w

Proof of Theorem caucvg3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 3828	. . . . 5 |- (G:NN-->RR <-> (G Fn NN /\ A.x e. NN (G` x) e. RR))
2		caucvg3a.3	. . . . 5 |- G Fn NN
3		caucvg3a.4	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (F` x)))
4		caucvg3a.1	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->CC
5	4	ffvelrni 3815	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (F` x) e. CC)
6		reclt 6757	. . . . . . . 8 |- ((F` x) e. CC -> (Re` (F` x)) e. RR)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (Re` (F` x)) e. RR)
8	3, 7	eqeltrd 1548	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
9	8	rgen 1698	. . . . 5 |- A.x e. NN (G` x) e. RR
10	1, 2, 9	mpbir2an 730	. . . 4 |- G:NN-->RR
11		caucvg3a.2	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
12	4, 11, 2, 3	caure 6927	. . . 4 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((G` y) - (G` w))) < z))
13		caucvg3a.4a	. . . 4 |- R = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (G` y))}
14	10, 12, 13	caucvg 7163	. . 3 |- G ~~> sup(R, RR, < )
15		axicn 5270	. . . 4 |- i e. CC
16		ltso 5512	. . . . 5 |- < Or RR
17	16	supex 4577	. . . 4 |- sup(S, RR, < ) e. V
18		ffnfv 3828	. . . . . 6 |- (H:NN-->RR <-> (H Fn NN /\ A.x e. NN (H` x) e. RR))
19		caucvg3a.5	. . . . . 6 |- H Fn NN
20		caucvg3a.6	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (H` x) = (Im` (F` x)))
21		imclt 6758	. . . . . . . . 9 |- ((F` x) e. CC -> (Im` (F` x)) e. RR)
22	5, 21	syl 10	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (Im` (F` x)) e. RR)
23	20, 22	eqeltrd 1548	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (H` x) e. RR)
24	23	rgen 1698	. . . . . 6 |- A.x e. NN (H` x) e. RR
25	18, 19, 24	mpbir2an 730	. . . . 5 |- H:NN-->RR
26	4, 11, 19, 20	cauim 6928	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((H` y) - (H` w))) < z))
27		caucvg3a.6a	. . . . 5 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (H` y))}
28	25, 26, 27	caucvg 7163	. . . 4 |- H ~~> sup(S, RR, < )
29		caucvg3a.7	. . . 4 |- D Fn NN
30	23	recnd 5315	. . . . 5 |- (x e. NN -> (H` x) e. CC)
31		caucvg3a.8	. . . . 5 |- (x e. NN -> (D` x) = (i x. (H` x)))
32	30, 31	jca 288	. . . 4 |- (x e. NN -> ((H` x) e. CC /\ (D` x) = (i x. (H` x))))
33	15, 17, 28, 29, 32	climmulc 7133	. . 3 |- D ~~> (i x. sup(S, RR, < ))
34	14, 33	pm3.2i 285	. 2 |- (G ~~> sup(R, RR, < ) /\ D ~~> (i x. sup(S, RR, < )))
35		1z 6159	. . 3 |- 1 e. ZZ
36		elnnuz 6440	. . . . 5 |- (x e. NN <-> x e. (ZZ>` 1))
37	7	recnd 5315	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (Re` (F` x)) e. CC)
38	3, 37	eqeltrd 1548	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) e. CC)
39		axmulcl 5273	. . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ (H` x) e. CC) -> (i x. (H` x)) e. CC)
40	15, 39	mpan 695	. . . . . . . 8 |- ((H` x) e. CC -> (i x. (H` x)) e. CC)
41	30, 40	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (i x. (H` x)) e. CC)
42	31, 41	eqeltrd 1548	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (D` x) e. CC)
43		replimt 6761	. . . . . . . 8 |- ((F` x) e. CC -> (F` x) = ((Re` (F` x)) + (i x. (Im` (F` x)))))
44	5, 43	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (F` x) = ((Re` (F` x)) + (i x. (Im` (F` x)))))
45	20	opreq2d 3976	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (i x. (H` x)) = (i x. (Im` (F` x))))
46	31, 45	eqtrd 1507	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (D` x) = (i x. (Im` (F` x))))
47	3, 46	opreq12d 3978	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> ((G` x) + (D` x)) = ((Re` (F` x)) + (i x. (Im` (F` x)))))
48	44, 47	eqtr4d 1510	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (F` x) = ((G` x) + (D` x)))
49	38, 42, 48	3jca 819	. . . . 5 |- (x e. NN -> ((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
50	36, 49	sylbir 201	. . . 4 |- (x e. (ZZ>` 1) -> ((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
51	50	rgen 1698	. . 3 |- A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x)))
52	35, 51	pm3.2i 285	. 2 |- (1 e. ZZ /\ A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))
53		nnex 5933	. . . 4 |- NN e. V
54		fnex 3607	. . . 4 |- ((G Fn NN /\ NN e. V) -> G e. V)
55	2, 53, 54	mp2an 697	. . 3 |- G e. V
56		fnex 3607	. . . 4 |- ((D Fn NN /\ NN e. V) -> D e. V)
57	29, 53, 56	mp2an 697	. . 3 |- D e. V
58		fex 3652	. . . 4 |- ((F:NN-->CC /\ NN e. V) -> F e. V)
59	4, 53, 58	mp2an 697	. . 3 |- F e. V
60	16	supex 4577	. . 3 |- sup(R, RR, < ) e. V
61		oprex 3983	. . 3 |- (i x. sup(S, RR, < )) e. V
62	55, 57, 59, 60, 61	climadd 7117	. 2 |- (((G ~~> sup(R, RR, < ) /\ D ~~> (i x. sup(S, RR, < ))) /\ (1 e. ZZ /\ A.x e. (ZZ>` 1)((G` x) e. CC /\ (D` x) e. CC /\ (F` x) = ((G` x) + (D` x))))) -> F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < ))))
63	34, 52, 62	mp2an 697	1 |- F ~~> (sup(R, RR, < ) + (i x. sup(S, RR, < )))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292   <_ cle 5295  NNcn 5296  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  Recre 6747  Imcim 6748  abscabs 6750   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  cvgcmp3c 7186

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain