Theorem caucvglem4 7160

Description: Lemma for caucvg 7163. Anything less that the supremum of S belongs to S.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	|- F:NN-->RR
caucvg.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg.3	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}

Assertion

Ref	Expression
caucvglem4	|- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> A e. S))

Distinct variable groups:   y,z,w,u,v,F   z,S,w   y,A,v,u

Proof of Theorem caucvglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvg.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
2		caucvg.2	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
3		caucvg.3	. . . . 5 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}
4	1, 2, 3	caucvglem2 7158	. . . 4 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.f e. S f <_ x)
5	4	suprlubi 6063	. . 3 |- ((A e. RR /\ A < sup(S, RR, < )) -> E.t e. S A < t)
6	5	ex 373	. 2 |- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> E.t e. S A < t))
7		axlttrn 5504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ (F` y) e. RR) -> ((A < t /\ t < (F` y)) -> A < (F` y)))
8	1	ffvelrni 3815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. NN -> (F` y) e. RR)
9	7, 8	syl3an3 861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ y e. NN) -> ((A < t /\ t < (F` y)) -> A < (F` y)))
10	9	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ y e. NN) -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))
11	10	3exp 832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. RR -> (t e. RR -> (y e. NN -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
12	11	com3l 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. RR -> (y e. NN -> (A e. RR -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
13	12	com4t 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> (A < t -> (t e. RR -> (y e. NN -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
14	13	imp41 368	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) /\ y e. NN) -> (t < (F` y) -> A < (F` y)))
15	14	imim2d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) /\ y e. NN) -> ((v <_ y -> t < (F` y)) -> (v <_ y -> A < (F` y))))
16	15	r19.20dva 1709	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) -> (A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
17	16	r19.22sdv 1738	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) -> (E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
18	17	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A < t) -> (t e. RR -> (E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y)))))
19	18	imp3a 361	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A < t) -> ((t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
20		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A < t) -> A e. RR)
21	19, 20	jctild 601	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ A < t) -> ((t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))) -> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y)))))
22	1, 2, 3	caucvglem1 7157	. . . . . 6 |- (t e. S <-> (t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))))
23	1, 2, 3	caucvglem1 7157	. . . . . 6 |- (A e. S <-> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
24	21, 22, 23	3imtr4g 553	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ A < t) -> (t e. S -> A e. S))
25	24	ex 373	. . . 4 |- (A e. RR -> (A < t -> (t e. S -> A e. S)))
26	25	com23 32	. . 3 |- (A e. RR -> (t e. S -> (A < t -> A e. S)))
27	26	r19.23adv 1746	. 2 |- (A e. RR -> (E.t e. S A < t -> A e. S))
28	6, 27	syld 27	1 |- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> A e. S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234   - cmin 5292   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  caucvglem6 7162

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain