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Theorem caucvgrlem 12471
Description: Lemma for caurcvgr 12472. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
caurcvgr.2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
caurcvgr.3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
caurcvgr.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
caucvgrlem.4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem  |-  ( ph  ->  E. j  e.  A  ( ( limsup `  F
)  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, A    j, F, k, x    ph, j, k, x    R, j, k, x

Proof of Theorem caucvgrlem
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgrlem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2 caurcvgr.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
3 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( x  =  R  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) )
43imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  R  ->  (
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) ) )
54rexralbidv 2751 . . . 4  |-  ( x  =  R  ->  ( E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) ) )
65rspcv 3050 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )
71, 2, 6sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) )
8 caurcvgr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
9 caurcvgr.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
10 reex 9086 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
1110ssex 4350 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
129, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
1310a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
14 fex2 5606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
158, 12, 13, 14syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
16 limsupcl 12272 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  _V  ->  ( limsup `
 F )  e. 
RR* )
1715, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( limsup `  F )  e.  RR* )
1817adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  RR* )
198adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  F : A --> RR )
20 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
j  e.  A )
2119, 20ffvelrnd 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )
221rpred 10653 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2322adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  R  e.  RR )
2421, 23readdcld 9120 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  e.  RR )
25 mnfxr 10719 . . . . . . . 8  |-  -oo  e.  RR*
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
2721, 23resubcld 9470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  e.  RR )
2827rexrd 9139 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  e.  RR* )
29 mnflt 10727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  j
)  -  R )  e.  RR  ->  -oo  <  ( ( F `  j
)  -  R ) )
3027, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  -oo  <  ( ( F `
 j )  -  R ) )
319adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A  C_  RR )
32 ressxr 9134 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
33 fss 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> RR  /\  RR  C_  RR* )  ->  F : A --> RR* )
348, 32, 33sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> RR* )
3534adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  F : A --> RR* )
36 caurcvgr.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
3736adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
3831, 20sseldd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
j  e.  RR )
39 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) )
40 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
j  <_  k  <->  j  <_  m ) )
41 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
4241oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )
4342fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) ) )
4443breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) )
4540, 44imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  <-> 
( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) ) )
4645cbvralv 2934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R )  <->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) )
4739, 46sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) )
4819ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( F `  m )  e.  RR )
4921adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
5048, 49resubcld 9470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) )  e.  RR )
5150recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC )
5251abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
5323adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  R  e.  RR )
54 ltle 9168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R )
)
5552, 53, 54syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R )
)
5648, 49, 53absdifled 12242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R  <->  ( (
( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) ) ) )
5755, 56sylibd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  -> 
( ( ( F `
 j )  -  R )  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) ) ) )
58 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) )  ->  (
( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m ) )
5957, 58syl6 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) ) )
6059imim2d 51 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  ->  ( j  <_  m  ->  ( ( F `
 j )  -  R )  <_  ( F `  m )
) ) )
6160ralimdva 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) ) ) )
6247, 61mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) ) )
63 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  m  <->  j  <_  m ) )
6463imbi1d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) )  <->  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R )  <_  ( F `  m )
) ) )
6564ralbidv 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( A. m  e.  A  ( n  <_  m  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) )  <->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j )  -  R )  <_  ( F `  m )
) ) )
6665rspcev 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  RR  /\  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( ( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m ) ) )  ->  E. n  e.  RR  A. m  e.  A  ( n  <_  m  ->  ( ( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m ) ) )
6738, 62, 66syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  E. n  e.  RR  A. m  e.  A  ( n  <_  m  ->  ( ( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m ) ) )
6831, 35, 28, 37, 67limsupbnd2 12282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( limsup `  F ) )
6926, 28, 18, 30, 68xrltletrd 10756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  -oo  <  ( limsup `  F
) )
7024rexrd 9139 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  e.  RR* )
7152adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
7223adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  R  e.  RR )
73 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  m  e.  A )
74 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) )
75 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
j  <_  m )
7645rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  ->  ( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R ) ) )
7773, 74, 75, 76syl3c 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )
7871, 72, 77ltled 9226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R )
7948adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  m
)  e.  RR )
8021adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )
8179, 80, 72absdifled 12242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <_  R  <->  ( (
( F `  j
)  -  R )  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) ) ) )
8278, 81mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -  R )  <_  ( F `  m )  /\  ( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) ) )
8382simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) )
8483expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
j  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )
8584ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) ) )
8663imbi1d 310 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  m  ->  ( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) )  <->  ( j  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  (
( F `  j
)  +  R ) ) ) )
8786ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( A. m  e.  A  ( n  <_  m  -> 
( F `  m
)  <_  ( ( F `  j )  +  R ) )  <->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  (
( F `  j
)  +  R ) ) ) )
8887rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )  ->  E. n  e.  RR  A. m  e.  A  ( n  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )
8938, 85, 88syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  E. n  e.  RR  A. m  e.  A  ( n  <_  m  ->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )
9031, 35, 70, 89limsupbnd1 12281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( limsup `  F )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) )
91 xrre 10762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( limsup `  F
)  e.  RR*  /\  (
( F `  j
)  +  R )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  ( limsup `  F )  /\  ( limsup `
 F )  <_ 
( ( F `  j )  +  R
) ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  RR )
9218, 24, 69, 90, 91syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  RR )
9392adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  RR )
9479, 93resubcld 9470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) )  e.  RR )
9594recnd 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) )  e.  CC )
9695abscld 12243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  e.  RR )
97 2re 10074 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
98 remulcl 9080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
9997, 72, 98sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 2  x.  R
)  e.  RR )
100 3re 10076 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
101 remulcl 9080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( 3  x.  R
)  e.  RR )
102100, 72, 101sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 3  x.  R
)  e.  RR )
10379recnd 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  m
)  e.  CC )
10493recnd 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( limsup `  F )  e.  CC )
105103, 104abssubd 12260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  =  ( abs `  (
( limsup `  F )  -  ( F `  m ) ) ) )
10679, 99resubcld 9470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  e.  RR )
10727adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  e.  RR )
10872recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  R  e.  CC )
1091082timesd 10215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 2  x.  R
)  =  ( R  +  R ) )
110109oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  =  ( ( F `  m )  -  ( R  +  R ) ) )
111103, 108, 108subsub4d 9447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  -  R )  -  R
)  =  ( ( F `  m )  -  ( R  +  R ) ) )
112110, 111eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  =  ( ( ( F `  m
)  -  R )  -  R ) )
11379, 72resubcld 9470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  R
)  e.  RR )
11479, 72, 80lesubaddd 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  -  R )  <_  ( F `  j )  <->  ( F `  m )  <_  ( ( F `
 j )  +  R ) ) )
11583, 114mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  R
)  <_  ( F `  j ) )
116113, 80, 72, 115lesub1dd 9647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  -  R )  -  R
)  <_  ( ( F `  j )  -  R ) )
117112, 116eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  <_  ( ( F `  j )  -  R ) )
11868adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( limsup `  F ) )
119106, 107, 93, 117, 118letrd 9232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  -  (
2  x.  R ) )  <_  ( limsup `  F ) )
12024adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  e.  RR )
12179, 99readdcld 9120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) )  e.  RR )
12290adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( limsup `  F )  <_  ( ( F `  j )  +  R
) )
12379, 72readdcld 9120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  +  R
)  e.  RR )
12482, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  -  R
)  <_  ( F `  m ) )
12580, 72, 79lesubaddd 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -  R )  <_  ( F `  m )  <->  ( F `  j )  <_  ( ( F `
 m )  +  R ) ) )
126124, 125mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( F `  j
)  <_  ( ( F `  m )  +  R ) )
12780, 123, 72, 126leadd1dd 9645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  <_  ( (
( F `  m
)  +  R )  +  R ) )
128103, 108, 108addassd 9115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  +  R )  +  R
)  =  ( ( F `  m )  +  ( R  +  R ) ) )
129109oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) )  =  ( ( F `  m )  +  ( R  +  R ) ) )
130128, 129eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( ( F `
 m )  +  R )  +  R
)  =  ( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) ) )
131127, 130breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( F `  j )  +  R
)  <_  ( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) ) )
13293, 120, 121, 122, 131letrd 9232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( limsup `  F )  <_  ( ( F `  m )  +  ( 2  x.  R ) ) )
13393, 79, 99absdifled 12242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( ( abs `  (
( limsup `  F )  -  ( F `  m ) ) )  <_  ( 2  x.  R )  <->  ( (
( F `  m
)  -  ( 2  x.  R ) )  <_  ( limsup `  F
)  /\  ( limsup `  F )  <_  (
( F `  m
)  +  ( 2  x.  R ) ) ) ) )
134119, 132, 133mpbir2and 890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( limsup `  F )  -  ( F `  m ) ) )  <_  ( 2  x.  R ) )
135105, 134eqbrtrd 4235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <_  ( 2  x.  R ) )
136 2lt3 10148 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  3
13797a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
2  e.  RR )
138100a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
3  e.  RR )
1391adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
140139adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  ->  R  e.  RR+ )
141137, 138, 140ltmul1d 10690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 2  <  3  <->  ( 2  x.  R )  <  ( 3  x.  R ) ) )
142136, 141mpbii 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( 2  x.  R
)  <  ( 3  x.  R ) )
14396, 99, 102, 135, 142lelttrd 9233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  j  <_  m ) )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) )
144143expr 600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  R ) ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
j  <_  m  ->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) ) )
145144ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  (
( F `  m
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) )
14641oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) )  =  ( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) ) )
147146fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( limsup `  F )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `  F
) ) ) )
148147breq1d 4225 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R )  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) )
14940, 148imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) )  <->  ( j  <_  m  ->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) ) )
150149cbvralv 2934 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) )  <->  A. m  e.  A  ( j  <_  m  ->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) )
151145, 150sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) )
15292, 151jca 520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
) ) )  -> 
( ( limsup `  F
)  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) ) ) )
153152expr 600 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  R )  ->  ( ( limsup `  F )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( limsup `  F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) ) ) )
154153reximdva 2820 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  R
)  ->  E. j  e.  A  ( ( limsup `
 F )  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `
 F ) ) )  <  ( 3  x.  R ) ) ) ) )
1557, 154mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  A  ( ( limsup `  F
)  e.  RR  /\  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( limsup `  F
) ) )  < 
( 3  x.  R
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   supcsup 7448   RRcr 8994    + caddc 8998    x. cmul 9000    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   2c2 10054   3c3 10055   RR+crp 10617   abscabs 12044   limsupclsp 12269
This theorem is referenced by:  caurcvgr  12472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ico 10927  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270
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