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Theorem caucvgrlem2 12470
Description: Lemma for caucvgr 12471. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
caucvgr.2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
caucvgr.3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
caucvgr.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
caucvgrlem2.5  |-  H : CC
--> RR
caucvgrlem2.6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( H `  ( F `  n )
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( H  o.  F ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, x, A    j, F, k, n, x    j, H, k, n, x    ph, j,
k, n, x

Proof of Theorem caucvgrlem2
StepHypRef Expression
1 caucvgrlem2.5 . . 3  |-  H : CC
--> RR
2 caucvgr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 fcompt 5906 . . 3  |-  ( ( H : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( H  o.  F )  =  ( n  e.  A  |->  ( H `  ( F `
 n ) ) ) )
41, 2, 3sylancr 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  =  ( n  e.  A  |->  ( H `
 ( F `  n ) ) ) )
5 caucvgr.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 fco 5602 . . . . . 6  |-  ( ( H : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( H  o.  F ) : A --> RR )
71, 2, 6sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
) : A --> RR )
8 caucvgr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
9 caucvgr.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
102ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  F : A
--> CC )
11 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  k  e.  A )
1210, 11ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
13 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  j  e.  A )
1410, 13ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( F `  j )  e.  CC )
15 caucvgrlem2.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
1612, 14, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
171ffvelrni 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( H `  ( F `  k ) )  e.  RR )
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( H `  ( F `  k
) )  e.  RR )
191ffvelrni 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  j )  e.  CC  ->  ( H `  ( F `  j ) )  e.  RR )
2014, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( H `  ( F `  j
) )  e.  RR )
2118, 20resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
2221recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `  ( F `
 j ) ) )  e.  CC )
2322abscld 12240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  e.  RR )
2412, 14subcld 9413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) )  e.  CC )
2524abscld 12240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR )
26 rpre 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2726ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  x  e.  RR )
28 lelttr 9167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <  x ) )
2923, 25, 27, 28syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( (
( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <  x ) )
3016, 29mpand 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <  x ) )
31 fvco3 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> CC  /\  k  e.  A )  ->  ( ( H  o.  F ) `  k
)  =  ( H `
 ( F `  k ) ) )
3210, 11, 31syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( H `  ( F `
 k ) ) )
33 fvco3 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> CC  /\  j  e.  A )  ->  ( ( H  o.  F ) `  j
)  =  ( H `
 ( F `  j ) ) )
3410, 13, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  j )  =  ( H `  ( F `
 j ) ) )
3532, 34oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( (
( H  o.  F
) `  k )  -  ( ( H  o.  F ) `  j ) )  =  ( ( H `  ( F `  k ) )  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )
3635fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( ( H  o.  F ) `  k )  -  (
( H  o.  F
) `  j )
) )  =  ( abs `  ( ( H `  ( F `
 k ) )  -  ( H `  ( F `  j ) ) ) ) )
3736breq1d 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( H  o.  F ) `
 k )  -  ( ( H  o.  F ) `  j
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( H `  ( F `  k )
)  -  ( H `
 ( F `  j ) ) ) )  <  x ) )
3830, 37sylibrd 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) )
3938imim2d 51 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  A )
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4039anassrs 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4140ralimdva 2786 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  A )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4241reximdva 2820 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( H  o.  F ) `  k
)  -  ( ( H  o.  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4342ralimdva 2786 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( H  o.  F
) `  k )  -  ( ( H  o.  F ) `  j ) ) )  <  x ) ) )
449, 43mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( H  o.  F
) `  k )  -  ( ( H  o.  F ) `  j ) ) )  <  x ) )
455, 7, 8, 44caurcvgr 12469 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~> r  ( limsup `  ( H  o.  F
) ) )
46 rlimrel 12289 . . . . 5  |-  Rel  ~~> r
4746releldmi 5108 . . . 4  |-  ( ( H  o.  F )  ~~> r  ( limsup `  ( H  o.  F )
)  ->  ( H  o.  F )  e.  dom  ~~> r  )
4845, 47syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  dom  ~~> r  )
49 ax-resscn 9049 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
50 fss 5601 . . . . 5  |-  ( ( ( H  o.  F
) : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> 
( H  o.  F
) : A --> CC )
517, 49, 50sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
) : A --> CC )
5251, 8rlimdm 12347 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  F )  e.  dom  ~~> r  <-> 
( H  o.  F
)  ~~> r  (  ~~> r  `  ( H  o.  F
) ) ) )
5348, 52mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~> r  (  ~~> r  `  ( H  o.  F
) ) )
544, 53eqbrtrrd 4236 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( H `  ( F `  n )
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( H  o.  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   RR+crp 10614   abscabs 12041   limsupclsp 12266    ~~> r crli 12281
This theorem is referenced by:  caucvgr  12471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-rlim 12285
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