Theorem caun0 7945

Description: A metric with a Cauchy sequence cannot be empty.

Hypothesis

Ref	Expression
caun0.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
caun0	|- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D)) -> X =/= (/))

Proof of Theorem caun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caun0.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
2		1z 6159	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
3		nnuz 6439	. . . . 5 |- NN = (ZZ>` 1)
4	1, 2, 3	iscau3 7938	. . . 4 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
5		3simp1 788	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x) -> (F` j) e. X)
6	5	imim2i 17	. . . . . . . . . 10 |- ((j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> (j <_ k -> (F` j) e. X))
7	6	r19.20si 1706	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> A.k e. NN (j <_ k -> (F` j) e. X))
8		breq2 2623	. . . . . . . . . . 11 |- (k = j -> (j <_ k <-> j <_ j))
9	8	imbi1d 613	. . . . . . . . . 10 |- (k = j -> ((j <_ k -> (F` j) e. X) <-> (j <_ j -> (F` j) e. X)))
10	9	rcla4cv 1874	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN (j <_ k -> (F` j) e. X) -> (j e. NN -> (j <_ j -> (F` j) e. X)))
11		nnret 5929	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> j e. RR)
12		leidt 5531	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. RR -> j <_ j)
13		pm2.27 62	. . . . . . . . . . 11 |- (j <_ j -> ((j <_ j -> (F` j) e. X) -> (F` j) e. X))
14	11, 12, 13	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- (j e. NN -> ((j <_ j -> (F` j) e. X) -> (F` j) e. X))
15	14	a2i 9	. . . . . . . . 9 |- ((j e. NN -> (j <_ j -> (F` j) e. X)) -> (j e. NN -> (F` j) e. X))
16	7, 10, 15	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> (j e. NN -> (F` j) e. X))
17	16	r19.22si 1734	. . . . . . 7 |- (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X))
18	17	imim2i 17	. . . . . 6 |- ((0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) -> (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
19	18	r19.20si 1706	. . . . 5 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
20	19	adantl 388	. . . 4 |- ((F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
21	4, 20	syl6bi 214	. . 3 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X))))
22		breq2 2623	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (0 < x <-> 0 < 1))
23	22	imbi1d 613	. . . . . 6 |- (x = 1 -> ((0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) <-> (0 < 1 -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X))))
24		lt01 5680	. . . . . . 7 |- 0 < 1
25	24	a1bi 197	. . . . . 6 |- (E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X) <-> (0 < 1 -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
26	23, 25	syl6bbr 538	. . . . 5 |- (x = 1 -> ((0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) <-> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
27	26	rcla4cv 1874	. . . 4 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) -> (1 e. RR -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
28		1re 5435	. . . . . 6 |- 1 e. RR
29	28	a1bi 197	. . . . 5 |- (E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X) <-> (1 e. RR -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)))
30		ne0i 2286	. . . . . . . 8 |- ((F` j) e. X -> X =/= (/))
31	30	imim2i 17	. . . . . . 7 |- ((j e. NN -> (F` j) e. X) -> (j e. NN -> X =/= (/)))
32	31	com12 11	. . . . . 6 |- (j e. NN -> ((j e. NN -> (F` j) e. X) -> X =/= (/)))
33	32	r19.23aiv 1743	. . . . 5 |- (E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X) -> X =/= (/))
34	29, 33	sylbir 201	. . . 4 |- ((1 e. RR -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) -> X =/= (/))
35	27, 34	syl 10	. . 3 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN (j e. NN -> (F` j) e. X)) -> X =/= (/))
36	21, 35	syl6 22	. 2 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) -> X =/= (/)))
37	36	imp 350	1 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D)) -> X =/= (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  Metcme 7789  Caucca 7920

This theorem is referenced by:  iscms2lem5 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-z 6136  df-uz 6418  df-met 7793  df-cau 7923

Copyright terms: Public domain