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Theorem caurcvg2 12473
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caurcvg2.2  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
caurcvg2.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
Assertion
Ref Expression
caurcvg2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    ph, j, k, x   
j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    V( x, j, k)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables  i  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10618 . . . 4  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3636 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  RR+  =/=  (/)
4 caurcvg2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
5 r19.2z 3719 . . 3  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
63, 4, 5sylancr 646 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
7 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
87ralimi 2783 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR )
9 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
10 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR )
11 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1211eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
1312rspccva 3053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  RR  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
1410, 13sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  RR ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  RR )
15 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) )
1614, 15fmptd 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> RR )
17 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  m )
)
18 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  m  ->  ( F `  j )  =  ( F `  m ) )
1918oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )
2019fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) ) )
2120breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m )
) )  <  x
) )
2221anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2317, 22raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2423cbvrexv 2935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
25 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
2625eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  i )  e.  RR ) )
2725oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )
2827fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) ) )
2928breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m )
) )  <  x
) )
3026, 29anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  i )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
3130cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  <->  A. i  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  i
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
32 recn 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  i )  e.  RR  ->  ( F `  i )  e.  CC )
3332anim1i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3433ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3531, 34sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3635reximi 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3724, 36sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3837ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
) )
394, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
) )
4039adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
41 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4241, 9cau4 12162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
4342ad2antrl 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
4440, 43mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
45 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )
469uztrn2 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)
47 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  i  ->  ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
48 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 i )  e. 
_V
4947, 15, 48fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  =  ( F `  i
) )
5046, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  =  ( F `  i
) )
51 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
52 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
5351, 15, 52fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m )  =  ( F `  m
) )
5453adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m )  =  ( F `  m
) )
5550, 54oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) )  =  ( ( F `  i )  -  ( F `  m )
) )
5655fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) ) )
5756breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5845, 57syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  i
)  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m ) ) )  <  x ) )
5958ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  i
)  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m ) ) )  <  x ) )
6059reximia 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x
)
6160ralimi 2783 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x )
6244, 61syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x )
639, 16, 62caurcvg 12472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) )
64 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
6564, 41eleq2s 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
6665ad2antrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  j  e.  ZZ )
67 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
6867adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  e.  V )
69 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
7069cbvmptv 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) )  =  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  k ) )
719, 70climmpt 12367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
7266, 68, 71syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
7363, 72mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) )
74 climrel 12288 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~>
7574releldmi 5108 . . . . . . 7  |-  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
7673, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  e.  dom 
~~>  )
7776expr 600 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  RR  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
788, 77syl5 31 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
7978rexlimdva 2832 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
8079rexlimdvw 2835 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
816, 80mpd 15 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   1c1 8993    < clt 9122    - cmin 9293   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   abscabs 12041   limsupclsp 12266    ~~> cli 12280
This theorem is referenced by:  iseralt  12480  cvgcmp  12597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285
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