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Theorem caurcvg2 12166
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caurcvg2.2  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
caurcvg2.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
Assertion
Ref Expression
caurcvg2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    ph, j, k, x   
j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    V( x, j, k)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables  i  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10374 . . . 4  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3474 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  RR+  =/=  (/)
4 caurcvg2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
5 r19.2z 3556 . . 3  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
63, 4, 5sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
7 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
87ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR )
9 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
10 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1211eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
1312rspccva 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  RR  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
1410, 13sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  RR ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  RR )
15 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) )
1614, 15fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> RR )
17 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  m )
)
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  m  ->  ( F `  j )  =  ( F `  m ) )
1918oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )
2019fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) ) )
2120breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m )
) )  <  x
) )
2221anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2317, 22raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2423cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
25 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
2625eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  i )  e.  RR ) )
2725oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )
2827fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) ) )
2928breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m )
) )  <  x
) )
3026, 29anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  i )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) ) )
3130cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  <->  A. i  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  i
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
32 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  i )  e.  RR  ->  ( F `  i )  e.  CC )
3332anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3433ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3531, 34sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3635reximi 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3724, 36sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
3837ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
) )
394, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
) )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
41 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4241, 9cau4 11856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
4342ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
4440, 43mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
45 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )
469uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  j )
)
47 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  i  ->  ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
48 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 i )  e. 
_V
4947, 15, 48fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  =  ( F `  i
) )
5046, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  =  ( F `  i
) )
51 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
52 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
5351, 15, 52fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m )  =  ( F `  m
) )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m )  =  ( F `  m
) )
5550, 54oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) )  =  ( ( F `  i )  -  ( F `  m )
) )
5655fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) ) )
5756breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
5845, 57syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  i
)  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m ) ) )  <  x ) )
5958ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) `  i
)  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `
 n ) ) `
 m ) ) )  <  x ) )
6059reximia 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  (
( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x
)
6160ralimi 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  ( F `  m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x )
6244, 61syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) `  i )  -  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) ) `  m ) ) )  <  x )
639, 16, 62caurcvg 12165 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) )
64 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
6564, 41eleq2s 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
6665ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  j  e.  ZZ )
67 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
6867adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  e.  V )
69 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
7069cbvmptv 4127 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( F `  n ) )  =  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  k ) )
719, 70climmpt 12061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
7266, 68, 71syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
7363, 72mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n ) ) ) )
74 climrel 11982 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~>
7574releldmi 4931 . . . . . . 7  |-  ( F  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( F `  n
) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
7673, 75syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  RR ) )  ->  F  e.  dom 
~~>  )
7776expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  RR  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
788, 77syl5 28 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
7978rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
8079rexlimdvw 2683 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
816, 80mpd 14 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    < clt 8883    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   abscabs 11735   limsupclsp 11960    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  iseralt  12173  cvgcmp  12290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979
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