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Theorem caures 26476
Description: The restriction of a Cauchy sequence to a set of upper integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caures.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
caures.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
caures.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
Assertion
Ref Expression
caures  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D
) ) )

Proof of Theorem caures
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caures.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21uztrn2 10245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
32adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
43biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  dom  F ) ) )
5 dmres 4976 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  |`  Z )  =  ( Z  i^i  dom  F )
65elin2 3359 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  dom  F ) )
74, 6syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  <->  k  e.  dom  ( F  |`  Z ) ) )
873anbi1d 1256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
98ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
109rexbidva 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
1110ralbidv 2563 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
12 caures.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1312biantrurd 494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
14 caures.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
15 elfvdm 5554 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  dom  Met )
1614, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  Met )
17 cnex 8818 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
18 ssid 3197 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
19 uzssz 10247 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
20 zsscn 10032 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2119, 20sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
221, 21eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
23 pmss12g 6794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  Z  C_  CC )  /\  ( X  e. 
dom  Met  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  Z )  C_  ( X  ^pm  CC ) )
2418, 22, 23mpanl12 663 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( X  ^pm  Z
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
2516, 17, 24sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  Z
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
26 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
271, 26eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
28 pmresg 6795 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  -> 
( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  Z ) )
2927, 12, 28sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  Z ) )
3025, 29sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3130biantrurd 494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
3211, 13, 313bitr3d 274 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  <->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
33 metxmet 17899 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3414, 33syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
35 caures.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
36 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
37 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
381, 34, 35, 36, 37iscau4 18705 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
39 fvres 5542 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( F  |`  Z ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
4039adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F  |`  Z ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
41 fvres 5542 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( F  |`  Z ) `
 j )  =  ( F `  j
) )
4241adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F  |`  Z ) `
 j )  =  ( F `  j
) )
431, 34, 35, 40, 42iscau4 18705 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( ( F  |`  Z )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  Z )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
4432, 38, 433bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  |`  Z )  e.  ( Cau `  D
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735    < clt 8867   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   Caucca 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-cau 18682
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