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Theorem caushft 26580
Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caures.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
caures.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
caushft.4  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  N ) )
caushft.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
caushft.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  N
) ) )
caushft.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
caushft.9  |-  ( ph  ->  G : W --> X )
Assertion
Ref Expression
caushft  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    D, k    k, G    ph, k    k, X   
k, F    k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    M( k)    W( k)

Proof of Theorem caushft
Dummy variables  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caushft.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
2 caures.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 caures.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 17915 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6 caures.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 caushft.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  N
) ) )
87ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  N
) ) )
9 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
10 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  N )  =  ( j  +  N ) )
1110fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  ( k  +  N ) )  =  ( G `  (
j  +  N ) ) )
129, 11eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  N ) )  <->  ( F `  j )  =  ( G `  ( j  +  N ) ) ) )
1312rspccva 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  N
) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( G `  ( j  +  N
) ) )
148, 13sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( G `  ( j  +  N
) ) )
152, 5, 6, 7, 14iscau4 18721 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N ) )  e.  X  /\  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x ) ) ) )
161, 15mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N ) )  e.  X  /\  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x ) ) )
1716simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N ) )  e.  X  /\  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x ) )
182eleq2i 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  <->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1918biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 caushft.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
21 eluzadd 10272 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
j  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  N )
) )
2219, 20, 21syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  N )
) )
23 caushft.4 . . . . . . 7  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  N ) )
2422, 23syl6eleqr 2387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  N )  e.  W )
25 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  j  e.  Z
)
2625, 2syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  M ) )
27 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
2920ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
30 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )
31 eluzsub 10273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( m  -  N )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
3228, 29, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( m  -  N )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
33 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  (
k  +  N ) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  ( ( G `
 ( k  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  <  x
)
3433ralimi 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N ) )  e.  X  /\  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  <  x )
35 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  -  N )  ->  (
k  +  N )  =  ( ( m  -  N )  +  N ) )
3635fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  -  N )  ->  ( G `  ( k  +  N ) )  =  ( G `  (
( m  -  N
)  +  N ) ) )
3736oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( m  -  N )  ->  (
( G `  (
k  +  N ) ) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) ) )
3837breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( m  -  N )  ->  (
( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x  <->  ( ( G `  ( (
m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  ( j  +  N
) ) )  < 
x ) )
3938rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  -  N )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  ( k  +  N ) ) D ( G `  ( j  +  N
) ) )  < 
x  ->  ( ( G `  ( (
m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  ( j  +  N
) ) )  < 
x ) )
4032, 34, 39syl2im 34 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N
) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  ( ( G `
 ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  <  x
) )
41 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  N ) )  ->  m  e.  ZZ )
4241adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
4342zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  m  e.  CC )
4420zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
4643, 45npcand 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( m  -  N )  +  N )  =  m )
4746fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( G `  ( ( m  -  N )  +  N
) )  =  ( G `  m ) )
4847oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( G `
 ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  =  ( ( G `  m
) D ( G `
 ( j  +  N ) ) ) )
493ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
50 caushft.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G : W --> X )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  G : W --> X )
5223uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  +  N
)  e.  W  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N
) ) )  ->  m  e.  W )
5324, 52sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  m  e.  W
)
54 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : W --> X  /\  m  e.  W )  ->  ( G `  m
)  e.  X )
5551, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  X
)
5650adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  G : W --> X )
57 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : W --> X  /\  ( j  +  N
)  e.  W )  ->  ( G `  ( j  +  N
) )  e.  X
)
5856, 24, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  ( j  +  N ) )  e.  X )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  N
) )  e.  X
)
60 metsym 17930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  m )  e.  X  /\  ( G `  ( j  +  N ) )  e.  X )  ->  (
( G `  m
) D ( G `
 ( j  +  N ) ) )  =  ( ( G `
 ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) ) )
6149, 55, 59, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( G `
 m ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  =  ( ( G `  (
j  +  N ) ) D ( G `
 m ) ) )
6248, 61eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( G `
 ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  (
j  +  N ) ) )  =  ( ( G `  (
j  +  N ) ) D ( G `
 m ) ) )
6362breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( ( ( G `  ( ( m  -  N )  +  N ) ) D ( G `  ( j  +  N
) ) )  < 
x  <->  ( ( G `
 ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) )  <  x
) )
6440, 63sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N
) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  ( ( G `
 ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) )  <  x
) )
6564ralrimdva 2646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  (
k  +  N ) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  ( j  +  N ) ) ( ( G `  (
j  +  N ) ) D ( G `
 m ) )  <  x ) )
66 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) )
67 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  N
) ) )
6867oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  (
( G `  n
) D ( G `
 m ) )  =  ( ( G `
 ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) ) )
6968breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  (
( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  <  x  <->  ( ( G `  ( j  +  N ) ) D ( G `  m
) )  <  x
) )
7066, 69raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  N )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( G `  n
) D ( G `
 m ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N ) ) ( ( G `  (
j  +  N ) ) D ( G `
 m ) )  <  x ) )
7170rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  N
)  e.  W  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  N
) ) ( ( G `  ( j  +  N ) ) D ( G `  m ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  <  x )
7224, 65, 71ee12an 1353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  (
k  +  N ) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( G `  n
) D ( G `
 m ) )  <  x ) )
7372rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( G `  ( k  +  N
) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( G `  n
) D ( G `
 m ) )  <  x ) )
7473ralimdv 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( G `  (
k  +  N ) )  e.  X  /\  ( ( G `  ( k  +  N
) ) D ( G `  ( j  +  N ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  < 
x ) )
7517, 74mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  < 
x )
766, 20zaddcld 10137 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
77 eqidd 2297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  ( G `  m )  =  ( G `  m ) )
78 eqidd 2297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
7923, 5, 76, 77, 78, 50iscauf 18722 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  W  A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( G `  n ) D ( G `  m ) )  <  x ) )
8075, 79mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   CCcc 8751    + caddc 8756    < clt 8883    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   Caucca 18695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-cau 18698
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