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Theorem causs 19115
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )

Proof of Theorem causs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 19099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
2 elfvdm 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
3 cnex 8997 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 6961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
71, 6syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
87simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  X ) )
9 rnss 5031 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  X )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  X ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  X
) )
11 rnxpss 5234 . . . . . 6  |-  ran  ( CC  X.  X )  C_  X
1210, 11syl6ss 3296 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  X )
1312adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  X )
14 frn 5530 . . . . 5  |-  ( F : NN --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
1514ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  Y )
1613, 15ssind 3501 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) )
1716ex 424 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) ) )
18 xmetres 18295 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
19 caufpm 19099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )
)
2018, 19sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)
21 inex1g 4280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
23 elpmg 6961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2422, 3, 23sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2524biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2620, 25syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2726simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
28 rnss 5031 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
30 rnxpss 5234 . . . . 5  |-  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( X  i^i  Y )
3129, 30syl6ss 3296 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) )
3231ex 424 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
3332adantr 452 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
34 ffn 5524 . . . 4  |-  ( F : NN --> Y  ->  F  Fn  NN )
35 df-f 5391 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  <->  ( F  Fn  NN  /\  ran  F  C_  ( X  i^i  Y
) ) )
3635simplbi2 609 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
3734, 36syl 16 . . 3  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
38 inss2 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
40 fss 5532 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  Y )  ->  F : NN --> Y )
4139, 40sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  D  e.  ( * Met `  X ) )  ->  F : NN --> Y )
4241ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> Y )
43 ffvelrn 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
45 nnuz 10446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4645uztrn2 10428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) )  -> 
z  e.  NN )
47 ffvelrn 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z
)  e.  Y )
4846, 47sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
4948anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
5044, 49ovresd 6146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( F `
 y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  y ) D ( F `  z ) ) )
5150breq1d 4156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  ( ( F `  y
) D ( F `
 z ) )  <  x ) )
5251ralbidva 2658 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5352rexbidva 2659 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5453ralbidv 2662 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5542, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5618adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
57 1z 10236 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
5857a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  1  e.  ZZ )
59 eqidd 2381 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
60 eqidd 2381 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
61 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )
6245, 56, 58, 59, 60, 61iscauf 19097 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x ) )
63 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
64 id 20 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )
65 inss1 3497 . . . . . . . 8  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
67 fss 5532 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  X )  ->  F : NN --> X )
6864, 66, 67syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> X )
6945, 63, 58, 59, 60, 68iscauf 19097 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  < 
x ) )
7055, 62, 693bitr4rd 278 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
7170ex 424 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  -> 
( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ) )
7237, 71sylan9r 640 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ) )
7317, 33, 72pm5.21ndd 344 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    X. cxp 4809   dom cdm 4811   ran crn 4812    |` cres 4813   Fun wfun 5381    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^pm cpm 6948   CCcc 8914   1c1 8917    < clt 9046   NNcn 9925   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537   * Metcxmt 16605   Caucca 19070
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  22220  hhsscms  22620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmet 16612  df-bl 16614  df-cau 19073
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