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Theorem causs 19243
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )

Proof of Theorem causs
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 19227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
2 elfvdm 5749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
3 cnex 9063 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 7024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
71, 6syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
87simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  X ) )
9 rnss 5090 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  X )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  X ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  X
) )
11 rnxpss 5293 . . . . . 6  |-  ran  ( CC  X.  X )  C_  X
1210, 11syl6ss 3352 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ran  F  C_  X )
1312adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  X )
14 frn 5589 . . . . 5  |-  ( F : NN --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
1514ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  Y )
1613, 15ssind 3557 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> Y )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) )
1716ex 424 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  ->  ran  F 
C_  ( X  i^i  Y ) ) )
18 xmetres 18386 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
19 caufpm 19227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )
)
2018, 19sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)
21 inex1g 4338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
23 elpmg 7024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2422, 3, 23sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
2524biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )
)  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2620, 25syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) ) ) )
2726simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
28 rnss 5090 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )
30 rnxpss 5293 . . . . 5  |-  ran  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( X  i^i  Y )
3129, 30syl6ss 3352 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) )
3231ex 424 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
3332adantr 452 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ran  F  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
34 ffn 5583 . . . 4  |-  ( F : NN --> Y  ->  F  Fn  NN )
35 df-f 5450 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  <->  ( F  Fn  NN  /\  ran  F  C_  ( X  i^i  Y
) ) )
3635simplbi2 609 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
3734, 36syl 16 . . 3  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) ) )
38 inss2 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
40 fss 5591 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  Y )  ->  F : NN --> Y )
4139, 40sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  D  e.  ( * Met `  X ) )  ->  F : NN --> Y )
4241ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> Y )
43 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
45 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4645uztrn2 10495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) )  -> 
z  e.  NN )
47 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z
)  e.  Y )
4846, 47sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
4948anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  Y
)
5044, 49ovresd 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( F `
 y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  y ) D ( F `  z ) ) )
5150breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  y ) )  ->  ( ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  ( ( F `  y
) D ( F `
 z ) )  <  x ) )
5251ralbidva 2713 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5352rexbidva 2714 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5453ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> Y  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( F `  z
) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5542, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  <  x ) )
5618adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
57 1z 10303 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
5857a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  1  e.  ZZ )
59 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
60 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
61 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> ( X  i^i  Y
) )
6245, 56, 58, 59, 60, 61iscauf 19225 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( ( F `  y ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( F `
 z ) )  <  x ) )
63 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
64 id 20 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  ->  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )
65 inss1 3553 . . . . . . . 8  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
67 fss 5591 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  X )  ->  F : NN --> X )
6864, 66, 67syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  F : NN
--> X )
6945, 63, 58, 59, 60, 68iscauf 19225 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( ( F `  y ) D ( F `  z ) )  < 
x ) )
7055, 62, 693bitr4rd 278 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
7170ex 424 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F : NN --> ( X  i^i  Y )  -> 
( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ) )
7237, 71sylan9r 640 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( ran  F  C_  ( X  i^i  Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ) )
7317, 33, 72pm5.21ndd 344 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^pm cpm 7011   CCcc 8980   1c1 8983    < clt 9112   NNcn 9992   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   * Metcxmt 16678   Caucca 19198
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  22371  hhsscms  22771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-cau 19201
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