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Theorem caussi 19251
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  C_  ( Cau `  D ) )

Proof of Theorem caussi
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3562 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2 xpss2 4986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X )
4 sstr 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y
) )  /\  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X ) )  ->  f  C_  ( CC  X.  X ) )
53, 4mpan2 654 . . . . . . 7  |-  ( f 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  f  C_  ( CC  X.  X
) )
65anim2i 554 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )  ->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )  ->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X
) ) ) )
8 elfvdm 5758 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
9 inex1g 4347 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
11 cnex 9072 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
12 elpmg 7033 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
1310, 11, 12sylancl 645 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
14 elpmg 7033 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
158, 11, 14sylancl 645 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
167, 13, 153imtr4d 261 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
^pm  CC )  ->  f  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
17 uzid 10501 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  ( ZZ>= `  y )
)
1817adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  y ) )
19 simp2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  -> 
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y ) )
2019ralimi 2782 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y ) )
21 fveq2 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( f `  y ) )
2221eleq1d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) ) )
2322rspcva 3051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  y )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )
2418, 20, 23syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) )
25 inss2 3563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
26 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )
2725, 26sseldi 3347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
2825a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
2928sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  z )  e.  Y )
30 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
3129, 30ovresd 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( f `  z
) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 z ) D ( f `  y
) ) )
3231breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x  <->  ( (
f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) )
3332biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x  ->  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) )
3433imdistanda 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
)  /\  ( (
f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
3635sseld 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  -> 
( f `  z
)  e.  X ) )
3736anim1d 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) D ( f `  y
) )  <  x
)  ->  ( (
f `  z )  e.  X  /\  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
3834, 37syld 43 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
3927, 38syldan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
4039anim2d 550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( z  e.  dom  f  /\  ( ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
)  /\  ( (
f `  z )
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y
) )  <  x
) )  ->  (
z  e.  dom  f  /\  ( ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
41 3anass 941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  <->  ( z  e.  dom  f  /\  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
42 3anass 941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x )  <-> 
( z  e.  dom  f  /\  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
4340, 41, 423imtr4g 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( z  e. 
dom  f  /\  (
f `  z )  e.  X  /\  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
4443ralimdv 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4544impancom 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  ( (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
)  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4624, 45mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) )
4746ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  (
ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4847reximdva 2819 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4948ralimdv 2786 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
5016, 49anim12d 548 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
51 xmetres 18395 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
52 iscau2 19231 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <-> 
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) ) )
5351, 52syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( f  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) ) )
54 iscau2 19231 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  D )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
5550, 53, 543imtr4d 261 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) ) )
5655ssrdv 3355 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  C_  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   _Vcvv 2957    i^i cin 3320    C_ wss 3321   class class class wbr 4213    X. cxp 4877   dom cdm 4879    |` cres 4881   Fun wfun 5449   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ^pm cpm 7020   CCcc 8989    < clt 9121   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   RR+crp 10613   * Metcxmt 16687   Caucca 19207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-neg 9295  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-xadd 10712  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-bl 16698  df-cau 19210
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