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Theorem caussi 18776
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  C_  ( Cau `  D ) )

Proof of Theorem caussi
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3423 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2 xpss2 4833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X )
4 sstr 3221 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y
) )  /\  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( CC  X.  X ) )  ->  f  C_  ( CC  X.  X ) )
53, 4mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( f 
C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) )  ->  f  C_  ( CC  X.  X
) )
65anim2i 552 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )  ->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) )
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) )  ->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X
) ) ) )
8 elfvdm 5592 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
9 inex1g 4194 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
11 cnex 8863 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
12 elpmg 6829 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
1310, 11, 12sylancl 643 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  ( X  i^i  Y ) ) ) ) )
14 elpmg 6829 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
158, 11, 14sylancl 643 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  ( Fun  f  /\  f  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
167, 13, 153imtr4d 259 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
^pm  CC )  ->  f  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
17 uzid 10289 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  ( ZZ>= `  y )
)
1817adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  y ) )
19 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  -> 
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y ) )
2019ralimi 2652 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y ) )
21 fveq2 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( f `  y ) )
2221eleq1d 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) ) )
2322rspcva 2916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  y )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )
2418, 20, 23syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) )
25 inss2 3424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
26 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )
2725, 26sseldi 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
2825a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
2928sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  z )  e.  Y )
30 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
3129, 30ovresd 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( f `  z
) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 z ) D ( f `  y
) ) )
3231breq1d 4070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x  <->  ( (
f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) )
3332biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  /\  (
f `  z )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x  ->  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) )
3433imdistanda 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
)  /\  ( (
f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
351a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  X )
3635sseld 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  -> 
( f `  z
)  e.  X ) )
3736anim1d 547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) D ( f `  y
) )  <  x
)  ->  ( (
f `  z )  e.  X  /\  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
3834, 37syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  Y )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
3927, 38syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
4039anim2d 548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( z  e.  dom  f  /\  ( ( f `
 z )  e.  ( X  i^i  Y
)  /\  ( (
f `  z )
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y
) )  <  x
) )  ->  (
z  e.  dom  f  /\  ( ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
41 3anass 938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  <->  ( z  e.  dom  f  /\  (
( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
42 3anass 938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x )  <-> 
( z  e.  dom  f  /\  ( ( f `
 z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  < 
x ) ) )
4340, 41, 423imtr4g 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  (
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  ( z  e. 
dom  f  /\  (
f `  z )  e.  X  /\  (
( f `  z
) D ( f `
 y ) )  <  x ) ) )
4443ralimdv 2656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
) )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( ZZ>=
`  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4544impancom 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  ( (
f `  y )  e.  ( X  i^i  Y
)  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4624, 45mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ZZ )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) )
4746ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  A. z  e.  (
ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4847reximdva 2689 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x )  ->  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
4948ralimdv 2656 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `
 z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ( f `  y ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) )
5016, 49anim12d 546 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
51 xmetres 17980 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
52 iscau2 18756 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <-> 
( f  e.  ( ( X  i^i  Y
)  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) ) )
5351, 52syl 15 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( f  e.  ( ( X  i^i  Y )  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( ( f `  z ) ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ( f `
 y ) )  <  x ) ) ) )
54 iscau2 18756 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  D )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( z  e.  dom  f  /\  ( f `  z
)  e.  X  /\  ( ( f `  z ) D ( f `  y ) )  <  x ) ) ) )
5550, 53, 543imtr4d 259 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) ) )
5655ssrdv 3219 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  C_  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    i^i cin 3185    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    X. cxp 4724   dom cdm 4726    |` cres 4728   Fun wfun 5286   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^pm cpm 6816   CCcc 8780    < clt 8912   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   RR+crp 10401   * Metcxmt 16418   Caucca 18732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-neg 9085  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-xadd 10500  df-xmet 16425  df-bl 16427  df-cau 18735
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