MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayley Structured version   Unicode version

Theorem cayley 15114
Description: Cayley's Theorem (constructive version): given group 
G,  F is an isomorphism between  G and the subgroup  S of the symmetry group  H on the underlying set  X of  G. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayley.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cayley.h  |-  H  =  ( SymGrp `  X )
cayley.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
cayley.f  |-  F  =  ( g  e.  X  |->  ( a  e.  X  |->  ( g  .+  a
) ) )
cayley.s  |-  S  =  ran  F
Assertion
Ref Expression
cayley  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  H
)  /\  F  e.  ( G  GrpHom  ( Hs  S ) )  /\  F : X -1-1-onto-> S ) )
Distinct variable groups:    g, a, G    g, H    .+ , a, g    X, a, g
Allowed substitution hints:    S( g, a)    F( g, a)    H( a)

Proof of Theorem cayley
StepHypRef Expression
1 cayley.s . . 3  |-  S  =  ran  F
2 cayley.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 cayley.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 cayley.h . . . . 5  |-  H  =  ( SymGrp `  X )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
7 cayley.f . . . . 5  |-  F  =  ( g  e.  X  |->  ( a  e.  X  |->  ( g  .+  a
) ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7cayleylem1 15112 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
9 ghmrn 15021 . . . 4  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ran  F  e.  (SubGrp `  H )
)
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ran  F  e.  (SubGrp `  H
) )
111, 10syl5eqel 2522 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  S  e.  (SubGrp `  H )
)
121eqimss2i 3405 . . . 4  |-  ran  F  C_  S
13 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Hs  S )  =  ( Hs  S )
1413resghm2b 15026 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  H )  /\  ran  F 
C_  S )  -> 
( F  e.  ( G  GrpHom  H )  <->  F  e.  ( G  GrpHom  ( Hs  S ) ) ) )
1511, 12, 14sylancl 645 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  <->  F  e.  ( G  GrpHom  ( Hs  S ) ) ) )
168, 15mpbid 203 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  F  e.  ( G  GrpHom  ( Hs  S ) ) )
172, 3, 4, 5, 6, 7cayleylem2 15113 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  F : X -1-1-> ( Base `  H
) )
18 f1f1orn 5687 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-> ( Base `  H )  ->  F : X -1-1-onto-> ran  F )
1917, 18syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  F : X -1-1-onto-> ran  F )
20 f1oeq3 5669 . . . 4  |-  ( S  =  ran  F  -> 
( F : X -1-1-onto-> S  <->  F : X -1-1-onto-> ran  F ) )
211, 20ax-mp 8 . . 3  |-  ( F : X -1-1-onto-> S  <->  F : X -1-1-onto-> ran  F
)
2219, 21sylibr 205 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  F : X -1-1-onto-> S )
2311, 16, 223jca 1135 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  H
)  /\  F  e.  ( G  GrpHom  ( Hs  S ) )  /\  F : X -1-1-onto-> S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322    e. cmpt 4268   ran crn 4881   -1-1->wf1 5453   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687  SubGrpcsubg 14940    GrpHom cghm 15005   SymGrpcsymg 15094
This theorem is referenced by:  cayleyth  15115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-tset 13550  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-ga 15069  df-symg 15095
  Copyright terms: Public domain W3C validator