Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleyth Structured version   Unicode version

Theorem cayleyth 15105
 Description: Cayley's Theorem (existence version): every group is isomorphic to a subgroup of the symmetry group on the underlying set of . (For any group there exists an isomorphism between and a subgroup of the symmetry group on the underlying set of .) (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayley.x
cayley.h
Assertion
Ref Expression
cayleyth SubGrp s
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cayleyth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayley.x . . . 4
2 cayley.h . . . 4
3 eqid 2435 . . . 4
4 eqid 2435 . . . 4
5 eqid 2435 . . . 4
61, 2, 3, 4, 5cayley 15104 . . 3 SubGrp s
76simp1d 969 . 2 SubGrp
86simp2d 970 . . 3 s
96simp3d 971 . . 3
10 f1oeq1 5657 . . . 4
1110rspcev 3044 . . 3 s s
128, 9, 11syl2anc 643 . 2 s
13 oveq2 6081 . . . . 5 s s
1413oveq2d 6089 . . . 4 s s
15 f1oeq3 5659 . . . 4
1614, 15rexeqbidv 2909 . . 3 s s
1716rspcev 3044 . 2 SubGrp s SubGrp s
187, 12, 17syl2anc 643 1 SubGrp s
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   cmpt 4258   crn 4871  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462   cplusg 13521  cgrp 14677  SubGrpcsubg 14930   cghm 14995  csymg 15084 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-tset 13540  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-ga 15059  df-symg 15085
 Copyright terms: Public domain W3C validator