Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cbicp Unicode version

Theorem cbicp 25166
 Description: Canonical bijection between a cartesian product indexed by a singleton and the base class of the elements of the 1-uple. Bourbaki E II.32 (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cbicp.1
Assertion
Ref Expression
cbicp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem cbicp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3
2 simpr 447 . . . 4
3 snidg 3665 . . . . 5
43ad2antrr 706 . . . 4
5 cbicp.1 . . . . 5
65bclelnu 25155 . . . 4
72, 4, 6syl2anc 642 . . 3
8 f1osng 5514 . . . . . 6
98adantlr 695 . . . . 5
10 f1ofn 5473 . . . . 5
119, 10syl 15 . . . 4
12 eqid 2283 . . . . . . 7
135eqeq1d 2291 . . . . . . . 8
1413ralsng 3672 . . . . . . 7
1512, 14mpbiri 224 . . . . . 6
1615ad2antrr 706 . . . . 5
17 f1of 5472 . . . . . . . 8
189, 17syl 15 . . . . . . 7
19 snssi 3759 . . . . . . . 8
2019adantl 452 . . . . . . 7
21 fss 5397 . . . . . . 7
2218, 20, 21syl2anc 642 . . . . . 6
23 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
2423ralrimiva 2626 . . . . . 6
2522, 24syl 15 . . . . 5
26 eleq2 2344 . . . . . . 7
2726biimprd 214 . . . . . 6
2827ral2imi 2619 . . . . 5
2916, 25, 28sylc 56 . . . 4
30 snex 4216 . . . . 5
3130elixp 6823 . . . 4
3211, 29, 31sylanbrc 645 . . 3
33 fvsng 5714 . . . . . . 7
3433ad2ant2rl 729 . . . . . 6
3534eqcomd 2288 . . . . 5
36 fveq1 5524 . . . . . 6
3736eqeq2d 2294 . . . . 5
3835, 37syl5ibrcom 213 . . . 4
39 simpll 730 . . . . . . 7
40 ixpfn 6822 . . . . . . . . 9
4140ad2antrl 708 . . . . . . . 8
42 dffn2 5390 . . . . . . . 8
4341, 42sylib 188 . . . . . . 7
44 sneq 3651 . . . . . . . . . 10
4544feq2d 5380 . . . . . . . . 9
46 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
4746eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10
48 id 19 . . . . . . . . . . . . 13
4948, 46opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . 12
5049sneqd 3653 . . . . . . . . . . 11
5150eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10
5247, 51anbi12d 691 . . . . . . . . 9
53 vex 2791 . . . . . . . . . 10
5453fsn2 5698 . . . . . . . . 9
5545, 52, 54vtoclbg 2844 . . . . . . . 8
5655biimpa 470 . . . . . . 7
5739, 43, 56syl2anc 642 . . . . . 6
5857simprd 449 . . . . 5
59 opeq2 3797 . . . . . . 7
6059sneqd 3653 . . . . . 6
6160eqeq2d 2294 . . . . 5
6258, 61syl5ibrcom 213 . . . 4
6338, 62impbid 183 . . 3
641, 7, 32, 63f1o2d 6069 . 2
655eleq1d 2349 . . . . . . 7
6665ralsng 3672 . . . . . 6
6766biimpar 471 . . . . 5
68 ixpexg 6840 . . . . 5
6967, 68syl 15 . . . 4
70 simpl 443 . . . 4
71 ispr1 25156 . . . 4
7269, 70, 71syl2anc 642 . . 3
73 f1oeq1 5463 . . 3
7472, 73syl 15 . 2
7564, 74mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   wss 3152  csn 3640  cop 3643   cmpt 4077   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cixp 6817   cpro 25150 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-ixp 6818  df-pro 25152
 Copyright terms: Public domain W3C validator