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Theorem cbicp 25166
Description: Canonical bijection between a cartesian product indexed by a singleton and the base class of the elements of the 1-uple. Bourbaki E II.32 (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cbicp.1  |-  ( x  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cbicp  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( X_ x  e. 
{ A } B  pr  A ) : X_ x  e.  { A } B -1-1-onto-> C )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, W
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem cbicp
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  |->  ( f `
 A ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  |->  ( f `
 A ) )
2 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  f  e.  X_ x  e.  { A } B )  ->  f  e.  X_ x  e.  { A } B )
3 snidg 3665 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
43ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  f  e.  X_ x  e.  { A } B )  ->  A  e.  { A } )
5 cbicp.1 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  B  =  C )
65bclelnu 25155 . . . 4  |-  ( ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  A  e.  { A } )  ->  (
f `  A )  e.  C )
72, 4, 6syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  f  e.  X_ x  e.  { A } B )  ->  (
f `  A )  e.  C )
8 f1osng 5514 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  C )  ->  { <. A ,  y
>. } : { A }
-1-1-onto-> { y } )
98adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  { <. A ,  y >. } : { A } -1-1-onto-> { y } )
10 f1ofn 5473 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  y >. } : { A } -1-1-onto-> {
y }  ->  { <. A ,  y >. }  Fn  { A } )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  { <. A ,  y >. }  Fn  { A } )
12 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  C  =  C
135eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( B  =  C  <->  C  =  C ) )
1413ralsng 3672 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  { A } B  =  C  <->  C  =  C ) )
1512, 14mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  { A } B  =  C )
1615ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  A. x  e.  { A } B  =  C )
17 f1of 5472 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. A ,  y >. } : { A } -1-1-onto-> {
y }  ->  { <. A ,  y >. } : { A } --> { y } )
189, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  { <. A ,  y >. } : { A } --> { y } )
19 snssi 3759 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  C  ->  { y }  C_  C )
2019adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  { y }  C_  C )
21 fss 5397 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. A ,  y
>. } : { A }
--> { y }  /\  { y }  C_  C
)  ->  { <. A , 
y >. } : { A } --> C )
2218, 20, 21syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  { <. A ,  y >. } : { A } --> C )
23 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. A ,  y
>. } : { A }
--> C  /\  x  e. 
{ A } )  ->  ( { <. A ,  y >. } `  x )  e.  C
)
2423ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  y >. } : { A } --> C  ->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  y >. } `  x )  e.  C )
2522, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  y
>. } `  x )  e.  C )
26 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  (
( { <. A , 
y >. } `  x
)  e.  B  <->  ( { <. A ,  y >. } `  x )  e.  C ) )
2726biimprd 214 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  (
( { <. A , 
y >. } `  x
)  e.  C  -> 
( { <. A , 
y >. } `  x
)  e.  B ) )
2827ral2imi 2619 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { A } B  =  C  ->  ( A. x  e. 
{ A }  ( { <. A ,  y
>. } `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  y
>. } `  x )  e.  B ) )
2916, 25, 28sylc 56 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  y
>. } `  x )  e.  B )
30 snex 4216 . . . . 5  |-  { <. A ,  y >. }  e.  _V
3130elixp 6823 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  y >. }  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  ( { <. A ,  y
>. }  Fn  { A }  /\  A. x  e. 
{ A }  ( { <. A ,  y
>. } `  x )  e.  B ) )
3211, 29, 31sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  y  e.  C )  ->  { <. A ,  y >. }  e.  X_ x  e.  { A } B )
33 fvsng 5714 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  C )  ->  ( { <. A , 
y >. } `  A
)  =  y )
3433ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
( { <. A , 
y >. } `  A
)  =  y )
3534eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  =  ( {
<. A ,  y >. } `  A )
)
36 fveq1 5524 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. A , 
y >. }  ->  (
f `  A )  =  ( { <. A ,  y >. } `  A ) )
3736eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. A , 
y >. }  ->  (
y  =  ( f `
 A )  <->  y  =  ( { <. A ,  y
>. } `  A ) ) )
3835, 37syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
( f  =  { <. A ,  y >. }  ->  y  =  ( f `  A ) ) )
39 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  ->  A  e.  V )
40 ixpfn 6822 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  ->  f  Fn  { A } )
4140ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
f  Fn  { A } )
42 dffn2 5390 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  { A }  <->  f : { A } --> _V )
4341, 42sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
f : { A }
--> _V )
44 sneq 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  { x }  =  { A } )
4544feq2d 5380 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
f : { x }
--> _V  <->  f : { A } --> _V ) )
46 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
f `  x )  =  ( f `  A ) )
4746eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( f `  x
)  e.  _V  <->  ( f `  A )  e.  _V ) )
48 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
4948, 46opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  <. x ,  ( f `  x ) >.  =  <. A ,  ( f `  A ) >. )
5049sneqd 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  { <. x ,  ( f `  x ) >. }  =  { <. A ,  ( f `  A )
>. } )
5150eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
f  =  { <. x ,  ( f `  x ) >. }  <->  f  =  { <. A ,  ( f `  A )
>. } ) )
5247, 51anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( f `  x )  e.  _V  /\  f  =  { <. x ,  ( f `  x ) >. } )  <-> 
( ( f `  A )  e.  _V  /\  f  =  { <. A ,  ( f `  A ) >. } ) ) )
53 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
5453fsn2 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { x } --> _V 
<->  ( ( f `  x )  e.  _V  /\  f  =  { <. x ,  ( f `  x ) >. } ) )
5545, 52, 54vtoclbg 2844 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
f : { A }
--> _V  <->  ( ( f `
 A )  e. 
_V  /\  f  =  { <. A ,  ( f `  A )
>. } ) ) )
5655biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  f : { A } --> _V )  ->  ( ( f `  A )  e.  _V  /\  f  =  { <. A ,  ( f `  A )
>. } ) )
5739, 43, 56syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( f `  A )  e.  _V  /\  f  =  { <. A ,  ( f `  A ) >. } ) )
5857simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
f  =  { <. A ,  ( f `  A ) >. } )
59 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( f `  A )  ->  <. A , 
y >.  =  <. A , 
( f `  A
) >. )
6059sneqd 3653 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  A )  ->  { <. A ,  y >. }  =  { <. A ,  ( f `  A )
>. } )
6160eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  A )  ->  (
f  =  { <. A ,  y >. }  <->  f  =  { <. A ,  ( f `  A )
>. } ) )
6258, 61syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  =  ( f `  A )  ->  f  =  { <. A ,  y >. } ) )
6338, 62impbid 183 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W
)  /\  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  /\  y  e.  C ) )  -> 
( f  =  { <. A ,  y >. } 
<->  y  =  ( f `
 A ) ) )
641, 7, 32, 63f1o2d 6069 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  |->  ( f `
 A ) ) : X_ x  e. 
{ A } B -1-1-onto-> C
)
655eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( B  e.  W  <->  C  e.  W ) )
6665ralsng 3672 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  { A } B  e.  W  <->  C  e.  W ) )
6766biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  A. x  e.  { A } B  e.  W
)
68 ixpexg 6840 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { A } B  e.  W  -> 
X_ x  e.  { A } B  e.  _V )
6967, 68syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  -> 
X_ x  e.  { A } B  e.  _V )
70 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  A  e.  V )
71 ispr1 25156 . . . 4  |-  ( (
X_ x  e.  { A } B  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( X_ x  e.  { A } B  pr  A )  =  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  |->  ( f `  A
) ) )
7269, 70, 71syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( X_ x  e. 
{ A } B  pr  A )  =  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  |->  ( f `  A
) ) )
73 f1oeq1 5463 . . 3  |-  ( (
X_ x  e.  { A } B  pr  A
)  =  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  |->  ( f `
 A ) )  ->  ( ( X_ x  e.  { A } B  pr  A
) : X_ x  e.  { A } B -1-1-onto-> C  <->  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  |->  ( f `  A
) ) : X_ x  e.  { A } B -1-1-onto-> C ) )
7472, 73syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( X_ x  e.  { A } B  pr  A ) : X_ x  e.  { A } B -1-1-onto-> C  <->  ( f  e.  X_ x  e.  { A } B  |->  ( f `
 A ) ) : X_ x  e. 
{ A } B -1-1-onto-> C
) )
7564, 74mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( X_ x  e. 
{ A } B  pr  A ) : X_ x  e.  { A } B -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643    e. cmpt 4077    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817    pr cpro 25150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-ixp 6818  df-pro 25152
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