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Theorem cbv1h 1950
Description: Rule used to change bound variables, using implicit substitution. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Hypotheses
Ref Expression
cbv1h.1  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  A. y ps ) )
cbv1h.2  |-  ( ph  ->  ( ch  ->  A. x ch ) )
cbv1h.3  |-  ( ph  ->  ( x  =  y  ->  ( ps  ->  ch ) ) )
Assertion
Ref Expression
cbv1h  |-  ( A. x A. y ph  ->  ( A. x ps  ->  A. y ch ) )

Proof of Theorem cbv1h
StepHypRef Expression
1 cbv1h.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  A. y ps ) )
21sps 1736 . . . 4  |-  ( A. y ph  ->  ( ps  ->  A. y ps )
)
32al2imi 1552 . . 3  |-  ( A. x A. y ph  ->  ( A. x ps  ->  A. x A. y ps ) )
4 ax-7 1725 . . 3  |-  ( A. x A. y ps  ->  A. y A. x ps )
53, 4syl6 29 . 2  |-  ( A. x A. y ph  ->  ( A. x ps  ->  A. y A. x ps ) )
6 cbv1h.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  =  y  ->  ( ps  ->  ch ) ) )
76com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  (
x  =  y  ->  ch ) ) )
8 cbv1h.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ch  ->  A. x ch ) )
97, 8syl6d 64 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  (
x  =  y  ->  A. x ch ) ) )
109al2imi 1552 . . . . 5  |-  ( A. x ph  ->  ( A. x ps  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ch )
) )
11 ax9o 1922 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  A. x ch )  ->  ch )
1210, 11syl6 29 . . . 4  |-  ( A. x ph  ->  ( A. x ps  ->  ch )
)
1312al2imi 1552 . . 3  |-  ( A. y A. x ph  ->  ( A. y A. x ps  ->  A. y ch )
)
1413a7s 1726 . 2  |-  ( A. x A. y ph  ->  ( A. y A. x ps  ->  A. y ch )
)
155, 14syld 40 1  |-  ( A. x A. y ph  ->  ( A. x ps  ->  A. y ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1531
This theorem is referenced by:  cbv1  1951  cbv2h  1952  cbv3h  1955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1533
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