MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Unicode version

Theorem cbvitg 19659
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
cbvitg.2  |-  F/_ y B
cbvitg.3  |-  F/_ x C
Assertion
Ref Expression
cbvitg  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  A
2 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
0
3 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y  <_
4 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
Re
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
6 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y  /
7 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
85, 6, 7nfov 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
94, 8nffv 5727 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
102, 3, 9nfbr 4248 . . . . . . . . 9  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
111, 10nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1211, 9, 2nfif 3755 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
13 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  A
14 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
0
15 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  <_
16 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Re
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x C
18 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  /
19 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( _i ^ k
)
2017, 18, 19nfov 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( C  /  (
_i ^ k ) )
2116, 20nffv 5727 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
2214, 15, 21nfbr 4248 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2313, 22nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) )
2423, 21, 14nfif 3755 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
25 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
2726oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )
2827fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
2928breq2d 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
3025, 29anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ) )
31 eqidd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  0  =  0 )
3230, 28, 31ifbieq12d 3753 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3312, 24, 32cbvmpt 4291 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3534fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3635oveq2d 6089 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
3736sumeq2i 12485 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
38 eqid 2435 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
3938dfitg 19653 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
40 eqid 2435 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
4140dfitg 19653 . 2  |-  S. A C  _d y  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
4237, 39, 413eqtr4i 2465 1  |-  S. A B  _d x  =  S. A C  _d y
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   _ici 8984    x. cmul 8987    <_ cle 9113    / cdiv 9669   3c3 10042   ...cfz 11035   ^cexp 11374   Recre 11894   sum_csu 12471   S.2citg2 19500   S.citg 19502
This theorem is referenced by:  cbvitgv  19660  itgmpt  19666  itgfsum  19710  itgabs  19718  cbvditg  19733  itgparts  19923  itgsubstlem  19924  itgulm2  20317  itgabsnc  26264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-sum 12472  df-itg 19508
  Copyright terms: Public domain W3C validator