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Theorem cbvprod 25243
Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvprod.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvprod.2  |-  F/_ k A
cbvprod.3  |-  F/_ j A
cbvprod.4  |-  F/_ k B
cbvprod.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvprod  |-  prod_ j  e.  A B  =  prod_ k  e.  A C
Distinct variable group:    j, k
Allowed substitution hints:    A( j, k)    B( j, k)    C( j, k)

Proof of Theorem cbvprod
Dummy variables  f  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 229 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )
2 cbvprod.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k A
32nfcri 2568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  j  e.  A
4 cbvprod.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k B
5 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
1
63, 4, 5nfif 3765 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  B ,  1 )
7 cbvprod.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j A
87nfcri 2568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j  k  e.  A
9 cbvprod.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j C
10 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
1
118, 9, 10nfif 3765 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  C ,  1 )
12 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
13 cbvprod.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
14 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  1  =  1 )
1512, 13, 14ifbieq12d 3763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
166, 11, 15cbvmpt 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
17 seqeq3 11330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  seq  n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq  n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  seq  n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq  n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
1918breq1i 4221 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  n (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )
2019anbi2i 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =/=  0  /\ 
seq  n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2120exbii 1593 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2221rexbii 2732 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
23 seqeq3 11330 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  seq  m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
2416, 23ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  seq  m
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
2524breq1i 4221 . . . . . 6  |-  (  seq  m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )
261, 22, 253anbi123i 1143 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2726rexbii 2732 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
284, 9, 13cbvcsb 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
2928mpteq2i 4294 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
30 seqeq3 11330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) )
3231fveq1i 5731 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m )
3332eqeq2i 2448 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
3433anbi2i 677 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) )
3534exbii 1593 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
3635rexbii 2732 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
3727, 36orbi12i 509 . . 3  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
3837iotabii 5442 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
39 df-prod 25234 . 2  |-  prod_ j  e.  A B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
40 df-prod 25234 . 2  |-  prod_ k  e.  A C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4138, 39, 403eqtr4i 2468 1  |-  prod_ j  e.  A B  =  prod_ k  e.  A C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561    =/= wne 2601   E.wrex 2708   [_csb 3253    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   iotacio 5418   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997   NNcn 10002   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045    seq cseq 11325    ~~> cli 12280   prod_cprod 25233
This theorem is referenced by:  cbvprodv  25244  cbvprodi  25245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seq 11326  df-prod 25234
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