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Theorem cbvsum 12184
Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvsum.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvsum.2  |-  F/_ k A
cbvsum.3  |-  F/_ j A
cbvsum.4  |-  F/_ k B
cbvsum.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvsum  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
Distinct variable group:    j, k
Allowed substitution hints:    A( j, k)    B( j, k)    C( j, k)

Proof of Theorem cbvsum
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvsum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k A
21nfcri 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  j  e.  A
3 cbvsum.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k B
4 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
52, 3, 4nfif 3602 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  B ,  0 )
6 cbvsum.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j A
76nfcri 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  k  e.  A
8 cbvsum.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j C
9 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j
0
107, 8, 9nfif 3602 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  C ,  0 )
11 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
12 cbvsum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
13 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  0  =  0 )
1411, 12, 13ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
155, 10, 14cbvmpt 4126 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
1615a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
1716seqeq3d 11070 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  seq  m
(  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
1817breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  (  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
1918anbi2d 684 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
2019rexbidv 2577 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
21 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  j  =  ( f `
 n )
223nfcri 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  x  e.  B
2321, 22nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( j  =  ( f `  n )  /\  x  e.  B
)
24 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ j  k  =  ( f `
 n )
258nfcri 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ j  x  e.  C
2624, 25nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j ( k  =  ( f `  n )  /\  x  e.  C
)
27 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  k  ->  (
j  =  ( f `
 n )  <->  k  =  ( f `  n
) ) )
2812eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  k  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  C ) )
2927, 28anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  =  ( f `  n )  /\  x  e.  B
)  <->  ( k  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  C ) ) )
3023, 26, 29cbvex 1938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. j ( j  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  B )  <->  E. k
( k  =  ( f `  n )  /\  x  e.  C
) )
3130abbii 2408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  |  E. j ( j  =  ( f `  n )  /\  x  e.  B ) }  =  { x  |  E. k ( k  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  C ) }
32 csb2 3096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  { x  |  E. j ( j  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  B ) }
33 csb2 3096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C  =  { x  |  E. k ( k  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  C ) }
3431, 32, 333eqtr4i 2326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
3635mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
3736seqeq3d 11070 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) )
3837fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
3938eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
4039anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
4140exbidv 1616 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4241rexbidv 2577 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4320, 42orbi12d 690 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
4443iotabidv 5256 . . 3  |-  (  T. 
->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
4544trud 1314 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
46 df-sum 12175 . 2  |-  sum_ j  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
47 df-sum 12175 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4845, 46, 473eqtr4i 2326 1  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    T. wtru 1307   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   F/_wnfc 2419   E.wrex 2557   [_csb 3094    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   iotacio 5233   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  cbvsumv  12185  cbvsumi  12186  esumpfinvalf  23459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seq 11063  df-sum 12175
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