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Theorem cbvsum 12168
Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvsum.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvsum.2  |-  F/_ k A
cbvsum.3  |-  F/_ j A
cbvsum.4  |-  F/_ k B
cbvsum.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvsum  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
Distinct variable group:    j, k
Allowed substitution hints:    A( j, k)    B( j, k)    C( j, k)

Proof of Theorem cbvsum
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvsum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k A
21nfcri 2413 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  j  e.  A
3 cbvsum.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k B
4 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
52, 3, 4nfif 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  B ,  0 )
6 cbvsum.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j A
76nfcri 2413 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  k  e.  A
8 cbvsum.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j C
9 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j
0
107, 8, 9nfif 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  C ,  0 )
11 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
12 cbvsum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
13 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  0  =  0 )
1411, 12, 13ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
155, 10, 14cbvmpt 4110 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
1615a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
1716seqeq3d 11054 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  seq  m
(  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
1817breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  (  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
1918anbi2d 684 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
2019rexbidv 2564 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
21 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  j  =  ( f `
 n )
223nfcri 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  x  e.  B
2321, 22nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( j  =  ( f `  n )  /\  x  e.  B
)
24 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ j  k  =  ( f `
 n )
258nfcri 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ j  x  e.  C
2624, 25nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j ( k  =  ( f `  n )  /\  x  e.  C
)
27 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  k  ->  (
j  =  ( f `
 n )  <->  k  =  ( f `  n
) ) )
2812eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  k  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  C ) )
2927, 28anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  =  ( f `  n )  /\  x  e.  B
)  <->  ( k  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  C ) ) )
3023, 26, 29cbvex 1925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. j ( j  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  B )  <->  E. k
( k  =  ( f `  n )  /\  x  e.  C
) )
3130abbii 2395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  |  E. j ( j  =  ( f `  n )  /\  x  e.  B ) }  =  { x  |  E. k ( k  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  C ) }
32 csb2 3083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  { x  |  E. j ( j  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  B ) }
33 csb2 3083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C  =  { x  |  E. k ( k  =  ( f `  n
)  /\  x  e.  C ) }
3431, 32, 333eqtr4i 2313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
3635mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
3736seqeq3d 11054 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) )
3837fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
3938eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
4039anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
4140exbidv 1612 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4241rexbidv 2564 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4320, 42orbi12d 690 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
4443iotabidv 5240 . . 3  |-  (  T. 
->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
4544trud 1314 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
46 df-sum 12159 . 2  |-  sum_ j  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
47 df-sum 12159 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
4845, 46, 473eqtr4i 2313 1  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    T. wtru 1307   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   F/_wnfc 2406   E.wrex 2544   [_csb 3081    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   iotacio 5217   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  cbvsumv  12169  cbvsumi  12170  esumpfinvalf  23444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seq 11047  df-sum 12159
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