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Theorem ccatass 11752
Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  =  ( S concat 
( T concat  U )
) )

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 11745 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( S concat  T )  e. Word  B )
213adant3 978 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S concat  T )  e. Word  B
)
3 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  U  e. Word  B )
4 ccatcl 11745 . . . . 5  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  e. Word  B )
52, 3, 4syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  e. Word  B )
6 wrdf 11735 . . . 4  |-  ( ( ( S concat  T ) concat  U )  e. Word  B  ->  ( ( S concat  T
) concat  U ) : ( 0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) ) --> B )
7 ffn 5593 . . . 4  |-  ( ( ( S concat  T ) concat  U ) : ( 0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) ) --> B  ->  ( ( S concat  T ) concat  U )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( ( S concat  T
) concat  U ) ) ) )
85, 6, 73syl 19 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  Fn  ( 0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) ) )
9 ccatlen 11746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S concat  T ) concat  U ) )  =  ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U ) ) )
102, 3, 9syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S concat  T ) concat  U ) )  =  ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U ) ) )
11 ccatlen 11746 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
12113adant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  T
) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
1312oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U
) )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )
1410, 13eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S concat  T ) concat  U ) )  =  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) )
1514oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) )  =  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
1615fneq2d 5539 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( S concat  T
) concat  U )  Fn  (
0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) )  <->  ( ( S concat  T ) concat  U )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
178, 16mpbid 203 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )
18 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  S  e. Word  B )
19 ccatcl 11745 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( T concat  U )  e. Word  B )
20193adant1 976 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( T concat  U )  e. Word  B
)
21 ccatcl 11745 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T concat  U )  e. Word  B )  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  e. Word  B )
2218, 20, 21syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  e. Word  B )
23 wrdf 11735 . . . 4  |-  ( ( S concat  ( T concat  U
) )  e. Word  B  ->  ( S concat  ( T concat  U ) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) ) --> B )
24 ffn 5593 . . . 4  |-  ( ( S concat  ( T concat  U
) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) ) --> B  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) ) )
2522, 23, 243syl 19 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) ) )
26 ccatlen 11746 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `  ( T concat  U ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) )
27263adant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( T concat  U
) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) )
2827oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) )
29 ccatlen 11746 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T concat  U )  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) )
3018, 20, 29syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) )
31 lencl 11737 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
32313ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3332nn0cnd 10278 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
34 lencl 11737 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  B  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
35343ad2ant2 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
3635nn0cnd 10278 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e.  CC )
37 lencl 11737 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e. Word  B  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
38373ad2ant3 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
3938nn0cnd 10278 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e.  CC )
4033, 36, 39addassd 9112 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )
4128, 30, 403eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) )
4241oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
4342fneq2d 5539 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  (
0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) )  <->  ( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
4425, 43mpbid 203 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )
4532nn0zd 10375 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
46 fzospliti 11167 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
4746ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
4845, 47sylan 459 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  \/  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
49 simpl1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  S  e. Word  B )
50 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  T  e. Word  B )
51 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
52 ccatval1 11747 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  x
)  =  ( S `
 x ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  x )  =  ( S `  x ) )
542adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  B )
55 simpl3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  U  e. Word  B )
56 uzid 10502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( # `  S
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) ) )
5745, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) ) )
58 uzaddcl 10535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) )  /\  ( # `  T )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) ) )
5957, 35, 58syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  S
) ) )
60 fzoss2 11165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
6212oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
6361, 62sseqtr4d 3387 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
6463sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
65 ccatval1 11747 . . . . . 6  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )  -> 
( ( ( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 x ) )
6654, 55, 64, 65syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( ( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 x ) )
6720adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( T concat  U )  e. Word  B )
68 ccatval1 11747 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T concat  U )  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
6949, 67, 51, 68syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
7053, 66, 693eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( ( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x ) )
7135nn0zd 10375 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
7245, 71zaddcld 10381 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  ZZ )
73 fzospliti 11167 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) )  /\  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
7473ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
7572, 74sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
76 simpl1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  S  e. Word  B )
77 simpl2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  T  e. Word  B )
78 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
79 ccatval2 11748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  x )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  x
)  =  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) )
81 simpl3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  U  e. Word  B )
82 fzosubel3 11181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
8382ancoms 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `
 S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S
) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
8471, 83sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S
) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
85 ccatval1 11747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  (
x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8677, 81, 84, 85syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8780, 86eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  x
)  =  ( ( T concat  U ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
882adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( S concat  T )  e. Word  B )
89 fzoss1 11164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  S )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
90 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9189, 90eleq2s 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
9232, 91syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
9392, 62sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  ( S concat  T ) ) ) )
9493sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
9588, 81, 94, 65syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( (
( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `  x
) )
9620adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( T concat  U )  e. Word  B )
97 uzid 10502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
9872, 97syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
99 uzaddcl 10535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) ) )  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) ) ) )
10098, 38, 99syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
101 fzoss2 11165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
10328, 40eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) )
104103oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  ( T concat  U ) ) ) )  =  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
105102, 104sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  ( T concat  U ) ) ) ) )
106105sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) ) )
107 ccatval2 11748 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T concat  U )  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) ) )  ->  ( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x )  =  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
10876, 96, 106, 107syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x )  =  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
10987, 95, 1083eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( (
( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
11012oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  -  ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( x  -  ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) ) )
111110adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( x  -  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
112 elfzoelz 11142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
113112zcnd 10378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  ->  x  e.  CC )
114113adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  CC )
11533adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
11636adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  T
)  e.  CC )
117114, 115, 116subsub4d 9444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( x  -  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  =  ( x  -  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
118111, 117eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( ( x  -  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) ) )
119118fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S concat  T
) ) ) )  =  ( U `  ( ( x  -  ( # `  S ) )  -  ( # `  T ) ) ) )
120 simpl2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  T  e. Word  B
)
121 simpl3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  U  e. Word  B
)
12240oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  =  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
123122eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  <->  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) ) ) )
124123biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
12545adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
12671adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  T
)  e.  ZZ )
12738nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e.  ZZ )
12871, 127zaddcld 10381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  T )  +  ( # `  U
) )  e.  ZZ )
129128adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( # `  T )  +  (
# `  U )
)  e.  ZZ )
130 fzosubel2 11180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )  /\  ( ( # `  S )  e.  ZZ  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) )  e.  ZZ ) )  -> 
( x  -  ( # `
 S ) )  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )
131124, 125, 126, 129, 130syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) )
132 ccatval2 11748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  (
x  -  ( # `  S ) )  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( T concat  U
) `  ( x  -  ( # `  S
) ) )  =  ( U `  (
( x  -  ( # `
 S ) )  -  ( # `  T
) ) ) )
133120, 121, 131, 132syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( U `  ( ( x  -  ( # `  S ) )  -  ( # `  T ) ) ) )
134119, 133eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S concat  T
) ) ) )  =  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
1352adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( S concat  T
)  e. Word  B )
13612, 13oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  ( S concat  T ) )..^ ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  =  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
137136eleq2d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  e.  ( (
# `  ( S concat  T ) )..^ ( (
# `  ( S concat  T ) )  +  (
# `  U )
) )  <->  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
138137biimpar 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  ( S concat  T ) )..^ ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
139 ccatval2 11748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  ( S concat  T ) )..^ ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S concat  T
) ) ) ) )
140135, 121, 138, 139syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S concat  T
) ) ) ) )
141 simpl1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  S  e. Word  B
)
14220adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( T concat  U
)  e. Word  B )
143 fzoss1 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
14459, 143syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
145144, 104sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) ) )
146145sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) ) )
147141, 142, 146, 107syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )  =  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
148134, 140, 1473eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
149109, 148jaodan 762 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
15075, 149syldan 458 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( (
( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
15170, 150jaodan 762 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  \/  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
15248, 151syldan 458 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( ( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x ) )
15317, 44, 152eqfnfvd 5832 1  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  =  ( S concat 
( T concat  U )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992    + caddc 8995    - cmin 9293   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490  ..^cfzo 11137   #chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720
This theorem is referenced by:  cats1cat  11827  frmdmnd  14806  efginvrel2  15361  efgredleme  15377  efgredlemc  15379  efgcpbllemb  15389  2cshw1lem3  28272  2cshw2lem3  28276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726
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