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Theorem ccatass 11752
 Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass Word Word Word concat concat concat concat

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 11745 . . . . . 6 Word Word concat Word
213adant3 978 . . . . 5 Word Word Word concat Word
3 simp3 960 . . . . 5 Word Word Word Word
4 ccatcl 11745 . . . . 5 concat Word Word concat concat Word
52, 3, 4syl2anc 644 . . . 4 Word Word Word concat concat Word
6 wrdf 11735 . . . 4 concat concat Word concat concat ..^ concat concat
7 ffn 5593 . . . 4 concat concat ..^ concat concat concat concat ..^ concat concat
85, 6, 73syl 19 . . 3 Word Word Word concat concat ..^ concat concat
9 ccatlen 11746 . . . . . . 7 concat Word Word concat concat concat
102, 3, 9syl2anc 644 . . . . . 6 Word Word Word concat concat concat
11 ccatlen 11746 . . . . . . . 8 Word Word concat
12113adant3 978 . . . . . . 7 Word Word Word concat
1312oveq1d 6098 . . . . . 6 Word Word Word concat
1410, 13eqtrd 2470 . . . . 5 Word Word Word concat concat
1514oveq2d 6099 . . . 4 Word Word Word ..^ concat concat ..^
1615fneq2d 5539 . . 3 Word Word Word concat concat ..^ concat concat concat concat ..^
178, 16mpbid 203 . 2 Word Word Word concat concat ..^
18 simp1 958 . . . . 5 Word Word Word Word
19 ccatcl 11745 . . . . . 6 Word Word concat Word
20193adant1 976 . . . . 5 Word Word Word concat Word
21 ccatcl 11745 . . . . 5 Word concat Word concat concat Word
2218, 20, 21syl2anc 644 . . . 4 Word Word Word concat concat Word
23 wrdf 11735 . . . 4 concat concat Word concat concat ..^ concat concat
24 ffn 5593 . . . 4 concat concat ..^ concat concat concat concat ..^ concat concat
2522, 23, 243syl 19 . . 3 Word Word Word concat concat ..^ concat concat
26 ccatlen 11746 . . . . . . . 8 Word Word concat
27263adant1 976 . . . . . . 7 Word Word Word concat
2827oveq2d 6099 . . . . . 6 Word Word Word concat
29 ccatlen 11746 . . . . . . 7 Word concat Word concat concat concat
3018, 20, 29syl2anc 644 . . . . . 6 Word Word Word concat concat concat
31 lencl 11737 . . . . . . . . 9 Word
32313ad2ant1 979 . . . . . . . 8 Word Word Word
3332nn0cnd 10278 . . . . . . 7 Word Word Word
34 lencl 11737 . . . . . . . . 9 Word
35343ad2ant2 980 . . . . . . . 8 Word Word Word
3635nn0cnd 10278 . . . . . . 7 Word Word Word
37 lencl 11737 . . . . . . . . 9 Word
38373ad2ant3 981 . . . . . . . 8 Word Word Word
3938nn0cnd 10278 . . . . . . 7 Word Word Word
4033, 36, 39addassd 9112 . . . . . 6 Word Word Word
4128, 30, 403eqtr4d 2480 . . . . 5 Word Word Word concat concat
4241oveq2d 6099 . . . 4 Word Word Word ..^ concat concat ..^
4342fneq2d 5539 . . 3 Word Word Word concat concat ..^ concat concat concat concat ..^
4425, 43mpbid 203 . 2 Word Word Word concat concat ..^
4532nn0zd 10375 . . . 4 Word Word Word
46 fzospliti 11167 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
4746ancoms 441 . . . 4 ..^ ..^ ..^
4845, 47sylan 459 . . 3 Word Word Word ..^ ..^ ..^
49 simpl1 961 . . . . . 6 Word Word Word ..^ Word
50 simpl2 962 . . . . . 6 Word Word Word ..^ Word
51 simpr 449 . . . . . 6 Word Word Word ..^ ..^
52 ccatval1 11747 . . . . . 6 Word Word ..^ concat
5349, 50, 51, 52syl3anc 1185 . . . . 5 Word Word Word ..^ concat
542adantr 453 . . . . . 6 Word Word Word ..^ concat Word
55 simpl3 963 . . . . . 6 Word Word Word ..^ Word
56 uzid 10502 . . . . . . . . . . 11
5745, 56syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
58 uzaddcl 10535 . . . . . . . . . 10
5957, 35, 58syl2anc 644 . . . . . . . . 9 Word Word Word
60 fzoss2 11165 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ ..^
6212oveq2d 6099 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat ..^
6361, 62sseqtr4d 3387 . . . . . . 7 Word Word Word ..^ ..^ concat
6463sselda 3350 . . . . . 6 Word Word Word ..^ ..^ concat
65 ccatval1 11747 . . . . . 6 concat Word Word ..^ concat concat concat concat
6654, 55, 64, 65syl3anc 1185 . . . . 5 Word Word Word ..^ concat concat concat
6720adantr 453 . . . . . 6 Word Word Word ..^ concat Word
68 ccatval1 11747 . . . . . 6 Word concat Word ..^ concat concat
6949, 67, 51, 68syl3anc 1185 . . . . 5 Word Word Word ..^ concat concat
7053, 66, 693eqtr4d 2480 . . . 4 Word Word Word ..^ concat concat concat concat
7135nn0zd 10375 . . . . . . 7 Word Word Word
7245, 71zaddcld 10381 . . . . . 6 Word Word Word
73 fzospliti 11167 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
7473ancoms 441 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^
7572, 74sylan 459 . . . . 5 Word Word Word ..^ ..^ ..^
76 simpl1 961 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ Word
77 simpl2 962 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ Word
78 simpr 449 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ ..^
79 ccatval2 11748 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ concat
8076, 77, 78, 79syl3anc 1185 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat
81 simpl3 963 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ Word
82 fzosubel3 11181 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
8382ancoms 441 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
8471, 83sylan 459 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ ..^
85 ccatval1 11747 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ concat
8677, 81, 84, 85syl3anc 1185 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat
8780, 86eqtr4d 2473 . . . . . . 7 Word Word Word ..^ concat concat
882adantr 453 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat Word
89 fzoss1 11164 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
90 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . . 12
9189, 90eleq2s 2530 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
9232, 91syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^ ..^
9392, 62sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ ..^ concat
9493sselda 3350 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ ..^ concat
9588, 81, 94, 65syl3anc 1185 . . . . . . 7 Word Word Word ..^ concat concat concat
9620adantr 453 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat Word
97 uzid 10502 . . . . . . . . . . . . 13
9872, 97syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word
99 uzaddcl 10535 . . . . . . . . . . . 12
10098, 38, 99syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
101 fzoss2 11165 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^ ..^
10328, 40eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word concat
104103oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^ concat ..^
105102, 104sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ ..^ concat
106105sselda 3350 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ ..^ concat
107 ccatval2 11748 . . . . . . . 8 Word concat Word ..^ concat concat concat concat
10876, 96, 106, 107syl3anc 1185 . . . . . . 7 Word Word Word ..^ concat concat concat
10987, 95, 1083eqtr4d 2480 . . . . . 6 Word Word Word ..^ concat concat concat concat
11012oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word concat
111110adantr 453 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^ concat
112 elfzoelz 11142 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
113112zcnd 10378 . . . . . . . . . . . 12 ..^
114113adantl 454 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word ..^
11533adantr 453 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word ..^
11636adantr 453 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word ..^
117114, 115, 116subsub4d 9444 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^
118111, 117eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ concat
119118fveq2d 5734 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat
120 simpl2 962 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ Word
121 simpl3 963 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ Word
12240oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word ..^ ..^
123122eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word ..^ ..^
124123biimpa 472 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^ ..^
12545adantr 453 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^
12671adantr 453 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^
12738nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word
12871, 127zaddcld 10381 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
129128adantr 453 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^
130 fzosubel2 11180 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
131124, 125, 126, 129, 130syl13anc 1187 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ ..^
132 ccatval2 11748 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ concat
133120, 121, 131, 132syl3anc 1185 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat
134119, 133eqtr4d 2473 . . . . . . 7 Word Word Word ..^ concat concat
1352adantr 453 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat Word
13612, 13oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10 Word Word Word concat ..^ concat ..^
137136eleq2d 2505 . . . . . . . . 9 Word Word Word concat ..^ concat ..^
138137biimpar 473 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat ..^ concat
139 ccatval2 11748 . . . . . . . 8 concat Word Word concat ..^ concat concat concat concat
140135, 121, 138, 139syl3anc 1185 . . . . . . 7 Word Word Word ..^ concat concat concat
141 simpl1 961 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ Word
14220adantr 453 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ concat Word
143 fzoss1 11164 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
14459, 143syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word Word ..^ ..^
145144, 104sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9 Word Word Word ..^ ..^ concat
146145sselda 3350 . . . . . . . 8 Word Word Word ..^ ..^ concat
147141, 142, 146, 107syl3anc 1185 . . . . . . 7 Word Word Word ..^ concat concat concat
148134, 140, 1473eqtr4d 2480 . . . . . 6 Word Word Word ..^ concat concat concat concat
149109, 148jaodan 762 . . . . 5 Word Word Word ..^ ..^ concat concat concat concat
15075, 149syldan 458 . . . 4 Word Word Word ..^ concat concat concat concat
15170, 150jaodan 762 . . 3 Word Word Word ..^ ..^ concat concat concat concat
15248, 151syldan 458 . 2 Word Word Word ..^ concat concat concat concat
15317, 44, 152eqfnfvd 5832 1 Word Word Word concat concat concat concat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cc0 8992   caddc 8995   cmin 9293  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  ..^cfzo 11137  chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720 This theorem is referenced by:  cats1cat  11827  frmdmnd  14806  efginvrel2  15361  efgredleme  15377  efgredlemc  15379  efgcpbllemb  15389  2cshw1lem3  28272  2cshw2lem3  28276 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726
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