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Theorem ccatco 11759
Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatco  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  ( S concat  T ) )  =  ( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  T ) ) )

Proof of Theorem ccatco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lenco 11756 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  ( # `  ( F  o.  S )
)  =  ( # `  S ) )
213adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( # `  ( F  o.  S ) )  =  ( # `  S
) )
3 lenco 11756 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  ( # `  ( F  o.  T )
)  =  ( # `  T ) )
433adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( # `  ( F  o.  T ) )  =  ( # `  T
) )
52, 4oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( ( # `  ( F  o.  S )
)  +  ( # `  ( F  o.  T
) ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
65oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( 0..^ ( (
# `  ( F  o.  S ) )  +  ( # `  ( F  o.  T )
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) ) )
76mpteq1d 4250 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( F  o.  S
) )  +  (
# `  ( F  o.  T ) ) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  ( F  o.  S ) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x ) ,  ( ( F  o.  T
) `  ( x  -  ( # `  ( F  o.  S )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S
) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) ) ) )
82oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( 0..^ ( # `  ( F  o.  S
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
98adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  ( F  o.  S
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
109eleq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) )  <->  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ) )
1110ifbid 3717 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) ) )
12 eqeq1 2410 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  o.  S
) `  x )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F  o.  S ) `  x )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  <->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( F `  ( S `  x )
) ,  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) ) )
13 eqeq1 2410 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  o.  T
) `  ( x  -  ( # `  ( F  o.  S )
) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  <->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( F `  ( S `  x )
) ,  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) ) )
14 wrdf 11688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e. Word  A  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
15143ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
1615adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
17 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
19 fvco2 5757 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Fn  ( 0..^ ( # `  S
) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( F  o.  S ) `  x )  =  ( F `  ( S `
 x ) ) )
2018, 19sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  S ) `  x
)  =  ( F `
 ( S `  x ) ) )
21 iftrue 3705 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
)  ->  if (
x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  =  ( F `
 ( S `  x ) ) )
2221adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  =  ( F `
 ( S `  x ) ) )
2320, 22eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  S ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
24 wrdf 11688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> A )
25243ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> A )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> A )
27 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> A  ->  T  Fn  ( 0..^ ( # `  T ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  T  Fn  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
29 lencl 11690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3029nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
31303ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( # `  S )  e.  ZZ )
32 fzospliti 11120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) ) )
3332ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) ) )
3431, 33sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  \/  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) ) )
3534orcanai 880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
36 lencl 11690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
3736nn0zd 10329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
38373ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( # `  T )  e.  ZZ )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  T )  e.  ZZ )
40 fzosubel3 11134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
4135, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 S ) )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )
42 fvco2 5757 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  Fn  ( 0..^ ( # `  T
) )  /\  (
x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) )  =  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )
4328, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  T ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )
442oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) )  =  ( x  -  ( # `  S ) ) )
4544fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( ( F  o.  T ) `  (
x  -  ( # `  ( F  o.  S
) ) ) )  =  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
4645ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  T ) `  (
x  -  ( # `  ( F  o.  S
) ) ) )  =  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
47 iffalse 3706 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  ->  if ( x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  =  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )
4847adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  =  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )
4943, 46, 483eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  T ) `  (
x  -  ( # `  ( F  o.  S
) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) ,  ( F `
 ( S `  x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
5012, 13, 23, 49ifbothda 3729 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
5111, 50eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
5251mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) ) )
537, 52eqtr2d 2437 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( F  o.  S )
)  +  ( # `  ( F  o.  T
) ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S
) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) ) ) )
5416ffvelrnda 5829 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( S `  x
)  e.  A )
5526, 41ffvelrnd 5830 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  e.  A )
5654, 55ifclda 3726 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )  e.  A
)
57 ccatfval 11697 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( S concat  T )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) )
58573adant3 977 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( S concat  T )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) )
59 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  F : A --> B )
6059feqmptd 5738 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
61 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) ,  ( S `
 x ) ,  ( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) )
62 fvif 5702 . . . 4  |-  ( F `
 if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) ,  ( S `
 x ) ,  ( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )
6361, 62syl6eq 2452 . . 3  |-  ( y  =  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) ,  ( S `
 x ) ,  ( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
6456, 58, 60, 63fmptco 5860 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  ( S concat  T ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) ) )
65 ffun 5552 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
66653ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  Fun  F )
67 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  S  e. Word  A )
68 cofunexg 5918 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  S  e. Word  A )  ->  ( F  o.  S )  e.  _V )
6966, 67, 68syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  S
)  e.  _V )
70 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  T  e. Word  A )
71 cofunexg 5918 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  T  e. Word  A )  ->  ( F  o.  T )  e.  _V )
7266, 70, 71syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  T
)  e.  _V )
73 ccatfval 11697 . . 3  |-  ( ( ( F  o.  S
)  e.  _V  /\  ( F  o.  T
)  e.  _V )  ->  ( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  T ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( F  o.  S
) )  +  (
# `  ( F  o.  T ) ) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  ( F  o.  S ) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x ) ,  ( ( F  o.  T
) `  ( x  -  ( # `  ( F  o.  S )
) ) ) ) ) )
7469, 72, 73syl2anc 643 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  T ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( F  o.  S
) )  +  (
# `  ( F  o.  T ) ) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  ( F  o.  S ) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x ) ,  ( ( F  o.  T
) `  ( x  -  ( # `  ( F  o.  S )
) ) ) ) ) )
7553, 64, 743eqtr4d 2446 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  ( S concat  T ) )  =  ( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   ifcif 3699    e. cmpt 4226    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946    + caddc 8949    - cmin 9247   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090   #chash 11573  Word cword 11672   concat cconcat 11673
This theorem is referenced by:  cats1co  11775  frmdgsum  14762  frmdup1  14764  efginvrel2  15314  frgpuplem  15359  frgpup1  15362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679
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