MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatco Unicode version

Theorem ccatco 11490
Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatco  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  ( S concat  T ) )  =  ( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  T ) ) )

Proof of Theorem ccatco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lenco 11487 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  ( # `  ( F  o.  S )
)  =  ( # `  S ) )
213adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( # `  ( F  o.  S ) )  =  ( # `  S
) )
3 lenco 11487 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  ( # `  ( F  o.  T )
)  =  ( # `  T ) )
433adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( # `  ( F  o.  T ) )  =  ( # `  T
) )
52, 4oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( ( # `  ( F  o.  S )
)  +  ( # `  ( F  o.  T
) ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
65oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( 0..^ ( (
# `  ( F  o.  S ) )  +  ( # `  ( F  o.  T )
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) ) )
7 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) ) )
86, 7mpteq12dv 4098 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( F  o.  S
) )  +  (
# `  ( F  o.  T ) ) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  ( F  o.  S ) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x ) ,  ( ( F  o.  T
) `  ( x  -  ( # `  ( F  o.  S )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S
) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) ) ) )
92oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( 0..^ ( # `  ( F  o.  S
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  ( F  o.  S
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
1110eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) )  <->  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ) )
1211ifbid 3583 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) ) )
13 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  o.  S
) `  x )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F  o.  S ) `  x )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  <->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( F `  ( S `  x )
) ,  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) ) )
14 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  o.  T
) `  ( x  -  ( # `  ( F  o.  S )
) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  <->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( F `  ( S `  x )
) ,  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) ) )
15 wrdf 11419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e. Word  A  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
16153ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
1716adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
18 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
20 fvco2 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Fn  ( 0..^ ( # `  S
) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( F  o.  S ) `  x )  =  ( F `  ( S `
 x ) ) )
2119, 20sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  S ) `  x
)  =  ( F `
 ( S `  x ) ) )
22 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
)  ->  if (
x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  =  ( F `
 ( S `  x ) ) )
2322adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  =  ( F `
 ( S `  x ) ) )
2421, 23eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  S ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
25 wrdf 11419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> A )
26253ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> A )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> A )
28 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> A  ->  T  Fn  ( 0..^ ( # `  T ) ) )
2927, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  T  Fn  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
30 lencl 11421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3130nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
32313ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( # `  S )  e.  ZZ )
33 fzospliti 10898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) ) )
3433ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) ) )
3532, 34sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  \/  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) ) )
3635orcanai 879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
37 lencl 11421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
3837nn0zd 10115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
39383ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( # `  T )  e.  ZZ )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  T )  e.  ZZ )
41 fzosubel3 10910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
4236, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 S ) )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )
43 fvco2 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  Fn  ( 0..^ ( # `  T
) )  /\  (
x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) )  =  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )
4429, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  T ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )
452oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) )  =  ( x  -  ( # `  S ) ) )
4645fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( ( F  o.  T ) `  (
x  -  ( # `  ( F  o.  S
) ) ) )  =  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
4746ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  T ) `  (
x  -  ( # `  ( F  o.  S
) ) ) )  =  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
48 iffalse 3572 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  ->  if ( x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  =  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )
4948adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )  =  ( F `
 ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )
5044, 47, 493eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  T ) `  (
x  -  ( # `  ( F  o.  S
) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) ,  ( F `
 ( S `  x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
5113, 14, 24, 50ifbothda 3595 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
5212, 51eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
5352mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S )
) ) ,  ( ( F  o.  S
) `  x ) ,  ( ( F  o.  T ) `  ( x  -  ( # `
 ( F  o.  S ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) ) )
548, 53eqtr2d 2316 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( F  o.  S )
)  +  ( # `  ( F  o.  T
) ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  o.  S
) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x
) ,  ( ( F  o.  T ) `
 ( x  -  ( # `  ( F  o.  S ) ) ) ) ) ) )
55 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( S : ( 0..^ ( # `  S
) ) --> A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( S `  x
)  e.  A )
5617, 55sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( S `  x
)  e.  A )
57 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( T : ( 0..^ ( # `  T
) ) --> A  /\  ( x  -  ( # `
 S ) )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )  ->  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) )  e.  A )
5827, 42, 57syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  e.  A )
5956, 58ifclda 3592 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )  e.  A
)
60 ccatfval 11428 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( S concat  T )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) )
61603adant3 975 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( S concat  T )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) )
62 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  F : A --> B )
6362feqmptd 5575 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
64 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) ,  ( S `
 x ) ,  ( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) )
65 fvif 5540 . . . 4  |-  ( F `
 if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) ,  ( S `
 x ) ,  ( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) ) )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) )
6664, 65syl6eq 2331 . . 3  |-  ( y  =  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) ,  ( S `
 x ) ,  ( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) )
6759, 61, 63, 66fmptco 5691 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  ( S concat  T ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( F `  ( S `
 x ) ) ,  ( F `  ( T `  ( x  -  ( # `  S
) ) ) ) ) ) )
68 ffun 5391 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
69683ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  Fun  F )
70 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  S  e. Word  A )
71 cofunexg 5739 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  S  e. Word  A )  ->  ( F  o.  S )  e.  _V )
7269, 70, 71syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  S
)  e.  _V )
73 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  ->  T  e. Word  A )
74 cofunexg 5739 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  T  e. Word  A )  ->  ( F  o.  T )  e.  _V )
7569, 73, 74syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  T
)  e.  _V )
76 ccatfval 11428 . . 3  |-  ( ( ( F  o.  S
)  e.  _V  /\  ( F  o.  T
)  e.  _V )  ->  ( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  T ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( F  o.  S
) )  +  (
# `  ( F  o.  T ) ) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  ( F  o.  S ) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x ) ,  ( ( F  o.  T
) `  ( x  -  ( # `  ( F  o.  S )
) ) ) ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 642 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  T ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( F  o.  S
) )  +  (
# `  ( F  o.  T ) ) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ (
# `  ( F  o.  S ) ) ) ,  ( ( F  o.  S ) `  x ) ,  ( ( F  o.  T
) `  ( x  -  ( # `  ( F  o.  S )
) ) ) ) ) )
7854, 67, 773eqtr4d 2325 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  F : A --> B )  -> 
( F  o.  ( S concat  T ) )  =  ( ( F  o.  S ) concat  ( F  o.  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   ifcif 3565    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    + caddc 8740    - cmin 9037   ZZcz 10024  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   concat cconcat 11404
This theorem is referenced by:  cats1co  11506  frmdgsum  14484  frmdup1  14486  efginvrel2  15036  frgpuplem  15081  frgpup1  15084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410
  Copyright terms: Public domain W3C validator