MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatlen Structured version   Unicode version

Theorem ccatlen 11736
Description: The length of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatlen  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )

Proof of Theorem ccatlen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatfval 11734 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( S concat  T )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) )
21fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( S `  x
) ,  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) ) ) ) )
3 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( S `
 x )  e. 
_V
4 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) )  e.  _V
53, 4ifex 3789 . . . 4  |-  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )  e.  _V
6 eqid 2435 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( S `  x
) ,  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )
75, 6fnmpti 5565 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( S `  x
) ,  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) ) )  Fn  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
8 hashfn 11641 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( S `  x
) ,  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) ) )  Fn  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )  ->  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( S `  x
) ,  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) ) ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) ) ) )
97, 8mp1i 12 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( S `  x
) ,  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) ) ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) ) ) )
10 lencl 11727 . . . 4  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
11 lencl 11727 . . . 4  |-  ( T  e. Word  B  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
12 nn0addcl 10247 . . . 4  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  NN0  /\  ( # `  T )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e. 
NN0 )
1310, 11, 12syl2an 464 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e. 
NN0 )
14 hashfzo0 11687 . . 3  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( # `  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
162, 9, 153eqtrd 2471 1  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731    e. cmpt 4258    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982    + caddc 8985    - cmin 9283   NN0cn0 10213  ..^cfzo 11127   #chash 11610  Word cword 11709   concat cconcat 11710
This theorem is referenced by:  ccatlid  11740  ccatrid  11741  ccatass  11742  ccatswrd  11765  swrdccat1  11766  swrdccat2  11767  ccatopth  11768  ccatopth2  11769  spllen  11775  splfv1  11776  splfv2a  11777  splval2  11778  cats1un  11782  revccat  11790  cats1len  11816  gsumccat  14779  efginvrel2  15351  efgsval2  15357  efgsp1  15361  efgredleme  15367  efgredlemc  15369  efgcpbllemb  15379  pgpfaclem1  15631  psgnuni  27380  psgnghm  27395  elfzelfzccat  28140  ccatsymb  28142  lenrevcctswrd  28152  swrdccatfn  28160  swrdccatin2  28166  swrdccatin12lem3c  28167  swrdccatin12  28170  cshwlen  28197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-hash 11611  df-word 11715  df-concat 11716
  Copyright terms: Public domain W3C validator