MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatrid Unicode version

Theorem ccatrid 11435
Description: Concatenation of a word by the empty word on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatrid  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  =  S )

Proof of Theorem ccatrid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 11418 . . . . 5  |-  (/)  e. Word  B
2 ccatcl 11429 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( S concat 
(/) )  e. Word  B
)
3 wrdf 11419 . . . . . 6  |-  ( ( S concat  (/) )  e. Word  B  ->  ( S concat  (/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat  (/) ) ) ) --> B )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( S concat 
(/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B )
51, 4mpan2 652 . . . 4  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B )
6 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( S concat  (/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B  ->  ( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  Fn  (
0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) )
8 ccatlen 11430 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  (/) ) ) )
91, 8mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  (/) ) ) )
10 hash0 11355 . . . . . . . 8  |-  ( # `  (/) )  =  0
1110oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  0 )
12 lencl 11421 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
1312nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
1413addid1d 9012 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( # `  S )  +  0 )  =  ( # `  S
) )
1511, 14syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( # `  S
) )
169, 15eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( # `  S
) )
1716oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) )  =  ( 0..^ (
# `  S )
) )
1817fneq2d 5336 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat  (/) ) ) )  <->  ( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) ) )
197, 18mpbid 201 . 2  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  Fn  (
0..^ ( # `  S
) ) )
20 wrdf 11419 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> B )
21 ffn 5389 . . 3  |-  ( S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> B  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
2220, 21syl 15 . 2  |-  ( S  e. Word  B  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
23 ccatval1 11431 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S concat  (/) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
241, 23mp3an2 1265 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  (/) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
2519, 22, 24eqfnfvd 5625 1  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    + caddc 8740  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   concat cconcat 11404
This theorem is referenced by:  gsumccat  14464  frmdmnd  14481  frmd0  14482  efginvrel2  15036  efgredleme  15052  efgcpbllemb  15064  efgcpbl2  15066  frgpnabllem1  15161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410
  Copyright terms: Public domain W3C validator