Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatswrd Structured version   Unicode version

Theorem ccatswrd 11763
 Description: Joining two adjacent subwords makes a longer subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatswrd Word substr concat substr substr

Proof of Theorem ccatswrd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 11756 . . . . . 6 Word substr Word
21adantr 452 . . . . 5 Word substr Word
3 swrdcl 11756 . . . . . 6 Word substr Word
43adantr 452 . . . . 5 Word substr Word
5 ccatcl 11733 . . . . 5 substr Word substr Word substr concat substr Word
62, 4, 5syl2anc 643 . . . 4 Word substr concat substr Word
7 wrdf 11723 . . . 4 substr concat substr Word substr concat substr ..^ substr concat substr
8 ffn 5583 . . . 4 substr concat substr ..^ substr concat substr substr concat substr ..^ substr concat substr
96, 7, 83syl 19 . . 3 Word substr concat substr ..^ substr concat substr
10 ccatlen 11734 . . . . . . 7 substr Word substr Word substr concat substr substr substr
112, 4, 10syl2anc 643 . . . . . 6 Word substr concat substr substr substr
12 simpl 444 . . . . . . . . 9 Word Word
13 simpr1 963 . . . . . . . . 9 Word
14 simpr2 964 . . . . . . . . . 10 Word
15 simpr3 965 . . . . . . . . . 10 Word
16 fzass4 11080 . . . . . . . . . . . 12
1716biimpri 198 . . . . . . . . . . 11
1817simpld 446 . . . . . . . . . 10
1914, 15, 18syl2anc 643 . . . . . . . . 9 Word
20 swrdlen 11760 . . . . . . . . 9 Word substr
2112, 13, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8 Word substr
22 swrdlen 11760 . . . . . . . . 9 Word substr
2312, 14, 15, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8 Word substr
2421, 23oveq12d 6091 . . . . . . 7 Word substr substr
25 elfzelz 11049 . . . . . . . . . 10
2614, 25syl 16 . . . . . . . . 9 Word
2726zcnd 10366 . . . . . . . 8 Word
28 elfzelz 11049 . . . . . . . . . 10
2913, 28syl 16 . . . . . . . . 9 Word
3029zcnd 10366 . . . . . . . 8 Word
31 elfzelz 11049 . . . . . . . . . 10
3215, 31syl 16 . . . . . . . . 9 Word
3332zcnd 10366 . . . . . . . 8 Word
3427, 30, 33npncan3d 9437 . . . . . . 7 Word
3524, 34eqtrd 2467 . . . . . 6 Word substr substr
3611, 35eqtrd 2467 . . . . 5 Word substr concat substr
3736oveq2d 6089 . . . 4 Word ..^ substr concat substr ..^
3837fneq2d 5529 . . 3 Word substr concat substr ..^ substr concat substr substr concat substr ..^
399, 38mpbid 202 . 2 Word substr concat substr ..^
40 swrdcl 11756 . . . . 5 Word substr Word
4140adantr 452 . . . 4 Word substr Word
42 wrdf 11723 . . . 4 substr Word substr ..^ substr
43 ffn 5583 . . . 4 substr ..^ substr substr ..^ substr
4441, 42, 433syl 19 . . 3 Word substr ..^ substr
45 fzass4 11080 . . . . . . . . 9
4645biimpri 198 . . . . . . . 8
4746simpld 446 . . . . . . 7
4813, 14, 47syl2anc 643 . . . . . 6 Word
49 swrdlen 11760 . . . . . 6 Word substr
5012, 48, 15, 49syl3anc 1184 . . . . 5 Word substr
5150oveq2d 6089 . . . 4 Word ..^ substr ..^
5251fneq2d 5529 . . 3 Word substr ..^ substr substr ..^
5344, 52mpbid 202 . 2 Word substr ..^
54 simpr 448 . . . . 5 Word ..^ ..^
5526, 29zsubcld 10370 . . . . . 6 Word
5655adantr 452 . . . . 5 Word ..^
57 fzospliti 11155 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
5854, 56, 57syl2anc 643 . . . 4 Word ..^ ..^ ..^
592adantr 452 . . . . . . 7 Word ..^ substr Word
604adantr 452 . . . . . . 7 Word ..^ substr Word
6121oveq2d 6089 . . . . . . . . 9 Word ..^ substr ..^
6261eleq2d 2502 . . . . . . . 8 Word ..^ substr ..^
6362biimpar 472 . . . . . . 7 Word ..^ ..^ substr
64 ccatval1 11735 . . . . . . 7 substr Word substr Word ..^ substr substr concat substr substr
6559, 60, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . 6 Word ..^ substr concat substr substr
66 simpll 731 . . . . . . 7 Word ..^ Word
67 simplr1 999 . . . . . . 7 Word ..^
6819adantr 452 . . . . . . 7 Word ..^
69 simpr 448 . . . . . . 7 Word ..^ ..^
70 swrdfv 11761 . . . . . . 7 Word ..^ substr
7166, 67, 68, 69, 70syl31anc 1187 . . . . . 6 Word ..^ substr
7265, 71eqtrd 2467 . . . . 5 Word ..^ substr concat substr
732adantr 452 . . . . . . 7 Word ..^ substr Word
744adantr 452 . . . . . . 7 Word ..^ substr Word
7521, 35oveq12d 6091 . . . . . . . . 9 Word substr ..^ substr substr ..^
7675eleq2d 2502 . . . . . . . 8 Word substr ..^ substr substr ..^
7776biimpar 472 . . . . . . 7 Word ..^ substr ..^ substr substr
78 ccatval2 11736 . . . . . . 7 substr Word substr Word substr ..^ substr substr substr concat substr substr substr
7973, 74, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . 6 Word ..^ substr concat substr substr substr
80 simpll 731 . . . . . . 7 Word ..^ Word
81 simplr2 1000 . . . . . . 7 Word ..^
82 simplr3 1001 . . . . . . 7 Word ..^
8321oveq2d 6089 . . . . . . . . 9 Word substr
8483adantr 452 . . . . . . . 8 Word ..^ substr
8534oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 Word ..^ ..^
8685eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10 Word ..^ ..^
8786biimpar 472 . . . . . . . . 9 Word ..^ ..^
8832, 26zsubcld 10370 . . . . . . . . . 10 Word
8988adantr 452 . . . . . . . . 9 Word ..^
90 fzosubel3 11169 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
9187, 89, 90syl2anc 643 . . . . . . . 8 Word ..^ ..^
9284, 91eqeltrd 2509 . . . . . . 7 Word ..^ substr ..^
93 swrdfv 11761 . . . . . . 7 Word substr ..^ substr substr substr
9480, 81, 82, 92, 93syl31anc 1187 . . . . . 6 Word ..^ substr substr substr
9583oveq1d 6088 . . . . . . . . 9 Word substr
9695adantr 452 . . . . . . . 8 Word ..^ substr
97 elfzoelz 11130 . . . . . . . . . . 11 ..^
9897zcnd 10366 . . . . . . . . . 10 ..^
9998adantl 453 . . . . . . . . 9 Word ..^
10027, 30subcld 9401 . . . . . . . . . 10 Word
101100adantr 452 . . . . . . . . 9 Word ..^
10227adantr 452 . . . . . . . . 9 Word ..^
10399, 101, 102subadd23d 9423 . . . . . . . 8 Word ..^
10427, 30nncand 9406 . . . . . . . . . 10 Word
105104oveq2d 6089 . . . . . . . . 9 Word
106105adantr 452 . . . . . . . 8 Word ..^
10796, 103, 1063eqtrd 2471 . . . . . . 7 Word ..^ substr
108107fveq2d 5724 . . . . . 6 Word ..^ substr
10979, 94, 1083eqtrd 2471 . . . . 5 Word ..^ substr concat substr
11072, 109jaodan 761 . . . 4 Word ..^ ..^ substr concat substr
11158, 110syldan 457 . . 3 Word ..^ substr concat substr
112 simpll 731 . . . 4 Word ..^ Word
11348adantr 452 . . . 4 Word ..^
114 simplr3 1001 . . . 4 Word ..^
115 swrdfv 11761 . . . 4 Word ..^ substr
116112, 113, 114, 54, 115syl31anc 1187 . . 3 Word ..^ substr
117111, 116eqtr4d 2470 . 2 Word ..^ substr concat substr substr
11839, 53, 117eqfnfvd 5822 1 Word substr concat substr substr
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cc0 8980   caddc 8983   cmin 9281  cz 10272  cfz 11033  ..^cfzo 11125  chash 11608  Word cword 11707   concat cconcat 11708   substr csubstr 11710 This theorem is referenced by:  splid  11772  splval2  11776  wrdeqcats1  11778  wrdeqs1cat  11779  swrds2  11870  efgredleme  15365  efgredlemc  15367  efgcpbllemb  15377  frgpuplem  15394  2cshw1lem3  28180  2cshw2lem3  28184 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-hash 11609  df-word 11713  df-concat 11714  df-substr 11716
 Copyright terms: Public domain W3C validator