MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cda1en Unicode version

Theorem cda1en 7801
Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cda1en  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  suc  A )

Proof of Theorem cda1en
StepHypRef Expression
1 enrefg 6893 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  A )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  A  ~~  A )
3 ensn1g 6926 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
4 ensym 6910 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  1o  ~~  { A } )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  1o  ~~ 
{ A } )
65adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  1o  ~~  { A } )
7 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  -.  A  e.  A )
8 disjsn 3693 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
97, 8sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )
10 cdaenun 7800 . . 3  |-  ( ( A  ~~  A  /\  1o  ~~  { A }  /\  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ( A  u.  { A }
) )
112, 6, 9, 10syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
12 df-suc 4398 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
1311, 12syl6breqr 4063 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   suc csuc 4394  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ~~ cen 6860    +c ccda 7793
This theorem is referenced by:  pm110.643ALT  7804  pwsdompw  7830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-cda 7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator