MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom3 Unicode version

Theorem cdadom3 8002
Description: A set is dominated by its cardinal sum with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  A  ~<_  ( A  +c  B ) )

Proof of Theorem cdadom3
StepHypRef Expression
1 unexg 4651 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
2 ssun1 3454 . . 3  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
3 ssdomg 7090 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( A  u.  B )  ->  A  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
41, 2, 3ee10 1382 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  A  ~<_  ( A  u.  B ) )
5 uncdadom 7985 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )
6 domtr 7097 . 2  |-  ( ( A  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~<_  ( A  +c  B
) )  ->  A  ~<_  ( A  +c  B
) )
74, 5, 6syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  A  ~<_  ( A  +c  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    u. cun 3262    C_ wss 3264   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021    ~<_ cdom 7044    +c ccda 7981
This theorem is referenced by:  cdainf  8006  infcda1  8007  infcdaabs  8020  isfin4-3  8129  isfin5-2  8205  gchdomtri  8438  gchcda1  8465  pwxpndom  8475  gchcdaidm  8477  gchhar  8480  gchpwdom  8483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-suc 4529  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1o 6661  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-cda 7982
  Copyright terms: Public domain W3C validator