MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom3 Unicode version

Theorem cdadom3 7814
Description: A set is dominated by its cardinal sum with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  A  ~<_  ( A  +c  B ) )

Proof of Theorem cdadom3
StepHypRef Expression
1 unexg 4521 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
2 ssun1 3338 . . 3  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
3 ssdomg 6907 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( A  u.  B )  ->  A  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
41, 2, 3ee10 1366 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  A  ~<_  ( A  u.  B ) )
5 uncdadom 7797 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )
6 domtr 6914 . 2  |-  ( ( A  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~<_  ( A  +c  B
) )  ->  A  ~<_  ( A  +c  B
) )
74, 5, 6syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  A  ~<_  ( A  +c  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858    ~<_ cdom 6861    +c ccda 7793
This theorem is referenced by:  cdainf  7818  infcda1  7819  infcdaabs  7832  isfin4-3  7941  isfin5-2  8017  gchdomtri  8251  gchcda1  8278  pwxpndom  8288  gchcdaidm  8290  gchhar  8293  gchpwdom  8296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-cda 7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator