MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdafi Structured version   Unicode version

Theorem cdafi 8072
Description: The cardinal sum of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
cdafi  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<  om )

Proof of Theorem cdafi
StepHypRef Expression
1 relsdom 7118 . . . 4  |-  Rel  ~<
21brrelexi 4920 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  _V )
31brrelexi 4920 . . 3  |-  ( B 
~<  om  ->  B  e.  _V )
4 cdaval 8052 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  +c  B
)  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o }
) ) )
52, 3, 4syl2an 465 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  +c  B )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o } ) ) )
6 0elon 4636 . . . . . 6  |-  (/)  e.  On
7 xpsneng 7195 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/) 
e.  On )  -> 
( A  X.  { (/)
} )  ~~  A
)
82, 6, 7sylancl 645 . . . . 5  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A  X.  { (/) } )  ~~  A )
9 sdomen1 7253 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  { (/) } )  ~~  A  -> 
( ( A  X.  { (/) } )  ~<  om 
<->  A  ~<  om )
)
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  ( ( A  X.  { (/) } ) 
~<  om  <->  A  ~<  om )
)
1110ibir 235 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A  X.  { (/) } )  ~<  om )
12 1on 6733 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
13 xpsneng 7195 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  1o  e.  On )  -> 
( B  X.  { 1o } )  ~~  B
)
143, 12, 13sylancl 645 . . . . 5  |-  ( B 
~<  om  ->  ( B  X.  { 1o } ) 
~~  B )
15 sdomen1 7253 . . . . 5  |-  ( ( B  X.  { 1o } )  ~~  B  ->  ( ( B  X.  { 1o } )  ~<  om 
<->  B  ~<  om )
)
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( B 
~<  om  ->  ( ( B  X.  { 1o }
)  ~<  om  <->  B  ~<  om )
)
1716ibir 235 . . 3  |-  ( B 
~<  om  ->  ( B  X.  { 1o } ) 
~<  om )
18 unfi2 7378 . . 3  |-  ( ( ( A  X.  { (/)
} )  ~<  om  /\  ( B  X.  { 1o } )  ~<  om )  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o } ) )  ~<  om )
1911, 17, 18syl2an 465 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( B  X.  { 1o }
) )  ~<  om )
205, 19eqbrtrd 4234 1  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4214   Oncon0 4583   omcom 4847    X. cxp 4878  (class class class)co 6083   1oc1o 6719    ~~ cen 7108    ~< csdm 7110    +c ccda 8049
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  8530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-cda 8050
  Copyright terms: Public domain W3C validator