MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdafi Unicode version

Theorem cdafi 7816
Description: The cardinal sum of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
cdafi  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<  om )

Proof of Theorem cdafi
StepHypRef Expression
1 relsdom 6870 . . . 4  |-  Rel  ~<
21brrelexi 4729 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  _V )
31brrelexi 4729 . . 3  |-  ( B 
~<  om  ->  B  e.  _V )
4 cdaval 7796 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  +c  B
)  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o }
) ) )
52, 3, 4syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  +c  B )  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o } ) ) )
6 0elon 4445 . . . . . 6  |-  (/)  e.  On
7 xpsneng 6947 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/) 
e.  On )  -> 
( A  X.  { (/)
} )  ~~  A
)
82, 6, 7sylancl 643 . . . . 5  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A  X.  { (/) } )  ~~  A )
9 sdomen1 7005 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  { (/) } )  ~~  A  -> 
( ( A  X.  { (/) } )  ~<  om 
<->  A  ~<  om )
)
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  ( ( A  X.  { (/) } ) 
~<  om  <->  A  ~<  om )
)
1110ibir 233 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A  X.  { (/) } )  ~<  om )
12 1on 6486 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
13 xpsneng 6947 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  1o  e.  On )  -> 
( B  X.  { 1o } )  ~~  B
)
143, 12, 13sylancl 643 . . . . 5  |-  ( B 
~<  om  ->  ( B  X.  { 1o } ) 
~~  B )
15 sdomen1 7005 . . . . 5  |-  ( ( B  X.  { 1o } )  ~~  B  ->  ( ( B  X.  { 1o } )  ~<  om 
<->  B  ~<  om )
)
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( B 
~<  om  ->  ( ( B  X.  { 1o }
)  ~<  om  <->  B  ~<  om )
)
1716ibir 233 . . 3  |-  ( B 
~<  om  ->  ( B  X.  { 1o } ) 
~<  om )
18 unfi2 7126 . . 3  |-  ( ( ( A  X.  { (/)
} )  ~<  om  /\  ( B  X.  { 1o } )  ~<  om )  ->  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o } ) )  ~<  om )
1911, 17, 18syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  (
( A  X.  { (/)
} )  u.  ( B  X.  { 1o }
) )  ~<  om )
205, 19eqbrtrd 4043 1  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   omcom 4656    X. cxp 4687  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ~~ cen 6860    ~< csdm 6862    +c ccda 7793
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  8275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-cda 7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator