MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdainflem Unicode version

Theorem cdainflem 7817
Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cdainflem  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A 
~~  om  \/  B  ~~  om ) )

Proof of Theorem cdainflem
StepHypRef Expression
1 unfi2 7126 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )
2 sdomnen 6890 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~<  om  ->  -.  ( A  u.  B )  ~~  om )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  -.  ( A  u.  B
)  ~~  om )
43con2i 112 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om ) )
5 ianor 474 . . 3  |-  ( -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  <->  ( -.  A  ~<  om  \/  -.  B  ~<  om ) )
6 relen 6868 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~~
76brrelexi 4729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A  u.  B )  e. 
_V )
8 ssun1 3338 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
9 ssdomg 6907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( A  u.  B )  ->  A  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
107, 8, 9ee10 1366 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  A  ~<_  ( A  u.  B ) )
11 domentr 6920 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~~  om )  ->  A  ~<_  om )
1210, 11mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  A  ~<_  om )
1312anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  A  ~<  om )  ->  ( A  ~<_  om  /\  -.  A  ~<  om ) )
14 bren2 6892 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~<  om ) )
1513, 14sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  A  ~<  om )  ->  A  ~~  om )
1615ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A 
~~  om ) )
17 ssun2 3339 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
18 ssdomg 6907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( B  C_  ( A  u.  B )  ->  B  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
197, 17, 18ee10 1366 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  B  ~<_  ( A  u.  B ) )
20 domentr 6920 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~~  om )  ->  B  ~<_  om )
2119, 20mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  B  ~<_  om )
2221anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  B  ~<  om )  ->  ( B  ~<_  om  /\  -.  B  ~<  om ) )
23 bren2 6892 . . . . . 6  |-  ( B 
~~  om  <->  ( B  ~<_  om 
/\  -.  B  ~<  om ) )
2422, 23sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  B  ~<  om )  ->  B  ~~  om )
2524ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  B  ~<  om  ->  B 
~~  om ) )
2616, 25orim12d 811 . . 3  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( ( -.  A  ~<  om  \/  -.  B  ~<  om )  ->  ( A  ~~  om  \/  B  ~~  om )
) )
275, 26syl5bi 208 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  ~~  om  \/  B  ~~  om ) ) )
284, 27mpd 14 1  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A 
~~  om  \/  B  ~~  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   omcom 4656    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862
This theorem is referenced by:  cdainf  7818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator