MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdainflem Unicode version

Theorem cdainflem 7904
Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cdainflem  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A 
~~  om  \/  B  ~~  om ) )

Proof of Theorem cdainflem
StepHypRef Expression
1 unfi2 7213 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )
2 sdomnen 6975 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~<  om  ->  -.  ( A  u.  B )  ~~  om )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  -.  ( A  u.  B
)  ~~  om )
43con2i 112 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om ) )
5 ianor 474 . . 3  |-  ( -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  <->  ( -.  A  ~<  om  \/  -.  B  ~<  om ) )
6 relen 6953 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~~
76brrelexi 4808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A  u.  B )  e. 
_V )
8 ssun1 3414 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
9 ssdomg 6992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( A  u.  B )  ->  A  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
107, 8, 9ee10 1376 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  A  ~<_  ( A  u.  B ) )
11 domentr 7005 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~~  om )  ->  A  ~<_  om )
1210, 11mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  A  ~<_  om )
1312anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  A  ~<  om )  ->  ( A  ~<_  om  /\  -.  A  ~<  om ) )
14 bren2 6977 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~<  om ) )
1513, 14sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  A  ~<  om )  ->  A  ~~  om )
1615ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A 
~~  om ) )
17 ssun2 3415 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
18 ssdomg 6992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( B  C_  ( A  u.  B )  ->  B  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
197, 17, 18ee10 1376 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  B  ~<_  ( A  u.  B ) )
20 domentr 7005 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~~  om )  ->  B  ~<_  om )
2119, 20mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  B  ~<_  om )
2221anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  B  ~<  om )  ->  ( B  ~<_  om  /\  -.  B  ~<  om ) )
23 bren2 6977 . . . . . 6  |-  ( B 
~~  om  <->  ( B  ~<_  om 
/\  -.  B  ~<  om ) )
2422, 23sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  B  ~<  om )  ->  B  ~~  om )
2524ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  B  ~<  om  ->  B 
~~  om ) )
2616, 25orim12d 811 . . 3  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( ( -.  A  ~<  om  \/  -.  B  ~<  om )  ->  ( A  ~~  om  \/  B  ~~  om )
) )
275, 26syl5bi 208 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  ~~  om  \/  B  ~~  om ) ) )
284, 27mpd 14 1  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A 
~~  om  \/  B  ~~  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    u. cun 3226    C_ wss 3228   class class class wbr 4102   omcom 4735    ~~ cen 6945    ~<_ cdom 6946    ~< csdm 6947
This theorem is referenced by:  cdainf  7905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952
  Copyright terms: Public domain W3C validator