MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdainflem Structured version   Unicode version

Theorem cdainflem 8076
Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cdainflem  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A 
~~  om  \/  B  ~~  om ) )

Proof of Theorem cdainflem
StepHypRef Expression
1 unfi2 7379 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )
2 sdomnen 7139 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~<  om  ->  -.  ( A  u.  B )  ~~  om )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  -.  ( A  u.  B
)  ~~  om )
43con2i 115 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om ) )
5 ianor 476 . . 3  |-  ( -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  <->  ( -.  A  ~<  om  \/  -.  B  ~<  om ) )
6 relen 7117 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~~
76brrelexi 4921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A  u.  B )  e. 
_V )
8 ssun1 3512 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
9 ssdomg 7156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( A  u.  B )  ->  A  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
107, 8, 9ee10 1386 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  A  ~<_  ( A  u.  B ) )
11 domentr 7169 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~~  om )  ->  A  ~<_  om )
1210, 11mpancom 652 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  A  ~<_  om )
1312anim1i 553 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  A  ~<  om )  ->  ( A  ~<_  om  /\  -.  A  ~<  om ) )
14 bren2 7141 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~<  om ) )
1513, 14sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  A  ~<  om )  ->  A  ~~  om )
1615ex 425 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A 
~~  om ) )
17 ssun2 3513 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
18 ssdomg 7156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( B  C_  ( A  u.  B )  ->  B  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
197, 17, 18ee10 1386 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  B  ~<_  ( A  u.  B ) )
20 domentr 7169 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~~  om )  ->  B  ~<_  om )
2119, 20mpancom 652 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  B  ~<_  om )
2221anim1i 553 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  B  ~<  om )  ->  ( B  ~<_  om  /\  -.  B  ~<  om ) )
23 bren2 7141 . . . . . 6  |-  ( B 
~~  om  <->  ( B  ~<_  om 
/\  -.  B  ~<  om ) )
2422, 23sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  B  ~<  om )  ->  B  ~~  om )
2524ex 425 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  B  ~<  om  ->  B 
~~  om ) )
2616, 25orim12d 813 . . 3  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( ( -.  A  ~<  om  \/  -.  B  ~<  om )  ->  ( A  ~~  om  \/  B  ~~  om )
) )
275, 26syl5bi 210 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  ~~  om  \/  B  ~~  om ) ) )
284, 27mpd 15 1  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A 
~~  om  \/  B  ~~  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   omcom 4848    ~~ cen 7109    ~<_ cdom 7110    ~< csdm 7111
This theorem is referenced by:  cdainf  8077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116
  Copyright terms: Public domain W3C validator