Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdalepw Structured version   Unicode version

Theorem cdalepw 8107
 Description: If is idempotent under cardinal sum and is dominated by the power set of , then so is the cardinal sum of and . (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdalepw

Proof of Theorem cdalepw
StepHypRef Expression
1 oveq1 6117 . . 3
21breq1d 4247 . 2
3 relen 7143 . . . . . . . . 9
43brrelex2i 4948 . . . . . . . 8
54adantr 453 . . . . . . 7
6 canth2g 7290 . . . . . . 7
7 sdomdom 7164 . . . . . . 7
85, 6, 73syl 19 . . . . . 6
9 simpr 449 . . . . . 6
10 cdadom1 8097 . . . . . . 7
11 cdadom2 8098 . . . . . . 7
12 domtr 7189 . . . . . . 7
1310, 11, 12syl2an 465 . . . . . 6
148, 9, 13syl2anc 644 . . . . 5
15 pwcda1 8105 . . . . . 6
165, 15syl 16 . . . . 5
17 domentr 7195 . . . . 5
1814, 16, 17syl2anc 644 . . . 4
20 0sdomg 7265 . . . . . . . . 9
215, 20syl 16 . . . . . . . 8
2221biimpar 473 . . . . . . 7
23 0sdom1dom 7335 . . . . . . 7
2422, 23sylib 190 . . . . . 6
25 cdadom2 8098 . . . . . 6
2624, 25syl 16 . . . . 5
27 simpll 732 . . . . 5
28 domentr 7195 . . . . 5
2926, 27, 28syl2anc 644 . . . 4
30 pwdom 7288 . . . 4
3129, 30syl 16 . . 3
32 domtr 7189 . . 3
3319, 31, 32syl2anc 644 . 2
34 cdacomen 8092 . . 3
35 reldom 7144 . . . . . . 7
3635brrelexi 4947 . . . . . 6
3736adantl 454 . . . . 5
38 cda0en 8090 . . . . 5
39 domen1 7278 . . . . 5
4037, 38, 393syl 19 . . . 4
419, 40mpbird 225 . . 3
42 endomtr 7194 . . 3
4334, 41, 42sylancr 646 . 2
442, 33, 43pm2.61ne 2685 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  cvv 2962  c0 3613  cpw 3823   class class class wbr 4237  (class class class)co 6110  c1o 6746   cen 7135   cdom 7136   csdm 7137   ccda 8078 This theorem is referenced by:  gchdomtri  8535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6753  df-2o 6754  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-cda 8079
 Copyright terms: Public domain W3C validator