Theorem cdaun 4922

Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets.

Hypotheses

Ref	Expression
cdaval.1	|- A e. V
cdaval.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
cdaun	|- ((A i^i B) = (/) -> (A +c B) ~~ (A u. B))

Proof of Theorem cdaun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xp01disj 4143	. . 3 |- ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)
2		cdaval.1	. . . . 5 |- A e. V
3		0ex 2711	. . . . 5 |- (/) e. V
4	2, 3	xpsnen 4435	. . . 4 |- (A X. {(/)}) ~~ A
5		cdaval.2	. . . . 5 |- B e. V
6		1on 4138	. . . . . 6 |- 1o e. On
7	6	elisseti 1818	. . . . 5 |- 1o e. V
8	5, 7	xpsnen 4435	. . . 4 |- (B X. {1o}) ~~ B
9		unen 4434	. . . 4 |- ((((A X. {(/)}) ~~ A /\ (B X. {1o}) ~~ B) /\ (((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/) /\ (A i^i B) = (/))) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
10	4, 8, 9	mpanl12 708	. . 3 |- ((((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/) /\ (A i^i B) = (/)) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
11	1, 10	mpan 695	. 2 |- ((A i^i B) = (/) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
12	2, 5	cdaval 4920	. 2 |- (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
13	11, 12	syl5eqbr 2648	1 |- ((A i^i B) = (/) -> (A +c B) ~~ (A u. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045   i^i cin 2046  (/)c0 2280  {csn 2409   class class class wbr 2619  Oncon0 2948   X. cxp 3168  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   ~~ cen 4364   +c ccda 4917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-en 4368  df-cda 4918

Copyright terms: Public domain