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Theorem cdj1i 23013
Description: Two ways to express " A and  B are completely disjoint subspaces." (1) => (2) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 21-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1  |-  A  e.  SH
cdj1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
cdj1i  |-  ( E. w  e.  RR  (
0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, A    x, v, B, y, z, w
Allowed substitution hint:    A( v)

Proof of Theorem cdj1i
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 9239 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  ->  w  =/=  0 )
2 rereccl 9478 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  w  =/=  0 )  -> 
( 1  /  w
)  e.  RR )
31, 2syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
( 1  /  w
)  e.  RR )
43adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  (
1  /  w )  e.  RR )
5 recgt0 9600 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
0  <  ( 1  /  w ) )
65adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  0  <  ( 1  /  w
) )
7 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
87a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  e.  RR )
9 neg1cn 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  e.  CC
10 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  B  e.  SH
1110sheli 21793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  z  e.  ~H )
12 hvmulcl 21593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  ~H )
139, 11, 12sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  ~H )
14 normcl 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
1615adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
17 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )  ->  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
187, 16, 17sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
20 cdj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  A  e.  SH
2120sheli 21793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
22 hvsubcl 21597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ~H )
2321, 11, 22syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ~H )
24 normcl 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  -h  z )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
26 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
2725, 26sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
2827anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR )
30 normge0 21705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
3113, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
32 addge01 9284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  <->  1  <_  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
337, 32mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  <->  1  <_  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
3433biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  ->  1  <_  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
3515, 31, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  B  ->  1  <_  ( 1  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
3635ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  <_  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
37 shmulcl 21797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  B )  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  B
)
3810, 9, 37mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  B )
39 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( normh `  v )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
4039oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
41 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
y  +h  v )  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
4241fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( normh `  ( y  +h  v ) )  =  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
4342oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
4440, 43breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4544rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  B  -> 
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4638, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4746imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  B  /\  A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
4847ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
49 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  =  ( normh `  y
)  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5049eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5150ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
52 hvsubval 21596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  -h  z
)  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
5321, 11, 52syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
5453fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  =  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5554oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5655adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5848, 51, 573brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) )
598, 19, 29, 36, 58letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) )
6059ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  1  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
6160adantllr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  1  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
62 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  e.  RR )
6323adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
y  -h  z )  e.  ~H )
6463, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
6562, 64, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
66 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  0  <  w )
67 lediv1 9621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR  /\  (
w  e.  RR  /\  0  <  w ) )  ->  ( 1  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
687, 67mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR  /\  (
w  e.  RR  /\  0  <  w ) )  ->  ( 1  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
6965, 62, 66, 68syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
1  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
7061, 69sylibd 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  ( 1  /  w )  <_  (
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w ) ) )
7170imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w ) )
7225recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  CC )
7372adantll 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  CC )
74 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
7574ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  e.  CC )
761ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  =/=  0 )
7773, 75, 76divcan3d 9541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w )  =  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )
7877adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w )  =  (
normh `  ( y  -h  z ) ) )
7971, 78breqtrd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) )
8079exp43 595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  -> 
( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) ) )
8180com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) ) )
8281ralrimdv 2632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
8382ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
( A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
8483impr 602 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) )
854, 6, 84jca32 521 . . . 4  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  (
( 1  /  w
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_  ( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) ) )
8685ex 423 . . 3  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) )  ->  ( (
1  /  w )  e.  RR  /\  (
0  <  ( 1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
1  /  w )  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) ) ) )
87 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
0  <  x  <->  0  <  ( 1  /  w ) ) )
88 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
x  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) )  <->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) )
8988imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) )  <->  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
90892ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
9187, 90anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) )  <->  ( 0  <  ( 1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
1  /  w )  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) ) )
9291rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  w
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_  ( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  < 
x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  x  <_  (
normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
9386, 92syl6 29 . 2  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  < 
x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  x  <_  (
normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) ) )
9493rexlimiv 2661 1  |-  ( E. w  e.  RR  (
0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038    / cdiv 9423   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501   normhcno 21503    -h cmv 21505   SHcsh 21508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hv0cl 21583  ax-hfvmul 21585  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-hnorm 21548  df-hvsub 21551  df-sh 21786
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