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Theorem cdj3i 23021
Description: Two ways to express " A and  B are completely disjoint subspaces." (1) <=> (3) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3.1  |-  A  e.  SH
cdj3.2  |-  B  e.  SH
cdj3.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
cdj3.4  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
cdj3.5  |-  ( ph  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
cdj3.6  |-  ( ps  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3i  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph 
/\  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u    v, T, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u)    ps( x, y, z, w, v, u)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3i
Dummy variables  t  h  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
2 cdj3.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 23014 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
4 cdj3.3 . . . . 5  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
51, 2, 4cdj3lem2b 23017 . . . 4  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6 cdj3.5 . . . 4  |-  ( ph  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
75, 6sylibr 203 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ph )
8 cdj3.4 . . . . 5  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
91, 2, 8cdj3lem3b 23020 . . . 4  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
10 cdj3.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
119, 10sylibr 203 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ps )
123, 7, 113jca 1132 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph  /\  ps ) )
13 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  f  ->  (
0  <  v  <->  0  <  f ) )
14 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  f  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( f  x.  ( normh `  u ) ) )
1514breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  f  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
1615ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  f  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
1713, 16anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  f  ->  (
( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
1817cbvrexv 2765 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. f  e.  RR  ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
196, 18bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  E. f  e.  RR  (
0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
20 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  g  ->  (
0  <  v  <->  0  <  g ) )
21 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  g  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( g  x.  ( normh `  u ) ) )
2221breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  g  ->  (
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2322ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  g  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2420, 23anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  g  ->  (
( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
2524cbvrexv 2765 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. g  e.  RR  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2610, 25bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  E. g  e.  RR  (
0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2719, 26anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  <->  ( E. f  e.  RR  ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  E. g  e.  RR  ( 0  < 
g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
28 reeanv 2707 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  <->  ( E. f  e.  RR  ( 0  < 
f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
) )  /\  E. g  e.  RR  (
0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
2927, 28bitr4i 243 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  <->  E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
30 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  <->  ( ( 0  <  f  /\  0  <  g )  /\  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
31 addgt0 9260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( 0  < 
f  /\  0  <  g ) )  ->  0  <  ( f  +  g ) )
3231ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
f  /\  0  <  g )  ->  0  <  ( f  +  g ) ) )
3332adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <  f  /\  0  <  g )  -> 
0  <  ( f  +  g ) ) )
341, 2shsvai 21943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ( A  +H  B ) )
35 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
3635fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
3837oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
f  x.  ( normh `  u ) )  =  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
3936, 38breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4039rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  ->  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
41 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( T `  u )  =  ( T `  ( t  +h  h
) ) )
4241fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( T `  u ) )  =  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) ) )
4337oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
g  x.  ( normh `  u ) )  =  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
4442, 43breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4544rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) )  ->  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4640, 45anim12d 546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
4734, 46syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
4847adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
491sheli 21793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
50 normcl 21704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
522sheli 21793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
53 normcl 21704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
5551, 54anim12i 549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR ) )
5655adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR ) )
57 hvaddcl 21592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
5849, 52, 57syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
59 normcl 21704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
61 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6260, 61sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6362adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )
64 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6560, 64sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6665adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )
67 le2add 9256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  /\  (
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR  /\  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
6856, 63, 66, 67syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
6968adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
701, 2, 4cdj3lem2 23015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
7170fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
7271breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( normh `  t )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
731, 2, 8cdj3lem3 23018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( T `  (
t  +h  h ) )  =  h )
7473fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  h )
)
7574breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
7672, 75anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
77763expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
7877ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
( ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
7978adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
80 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  RR  ->  f  e.  CC )
81 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  RR  ->  g  e.  CC )
8260recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  CC )
83 adddir 8830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  CC )  ->  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
8480, 81, 82, 83syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  (
t  e.  A  /\  h  e.  B )
)  ->  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
85843expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
8685breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
8786adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
8869, 79, 873imtr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) )
8948, 88syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
9089ralrimdvva 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) )
91 readdcl 8820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  +  g )  e.  RR )
92 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
0  <  v  <->  0  <  ( f  +  g ) ) )
93 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
9493oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
95 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
9695fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
9796oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
9894, 97breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
99 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
10099oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
101 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
102101fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
103102oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
104100, 103breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
10598, 104cbvral2v 2772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
106 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
107106breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1081072ralbidv 2585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  ( A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
109105, 108syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
11092, 109anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  <->  ( 0  < 
( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) ) )
111110rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  +  g )  e.  RR  /\  ( 0  <  (
f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
112111ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  +  g )  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11391, 112syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
114113adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <  ( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11533, 90, 114syl2and 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
( 0  <  f  /\  0  <  g )  /\  ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11630, 115syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
117116rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11829, 117syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
1191183impib 1149 . 2  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ph 
/\  ps )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
12012, 119impbii 180 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph 
/\  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   ~Hchil 21499    +h cva 21500   normhcno 21503   SHcsh 21508    +H cph 21511   0Hc0h 21515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-hnorm 21548  df-hvsub 21551  df-sh 21786  df-ch0 21832  df-shs 21887
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