HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2b Unicode version

Theorem cdj3lem2b 23033
Description: Lemma for cdj3i 23037. The first-component function  S is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem2.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
2 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 23030 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
41, 2shseli 21911 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  <->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
54biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
6 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
76oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
8 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
98fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
109oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
117, 10breq12d 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
12 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
1312oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
14 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
1514fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
1615oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
1713, 16breq12d 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1811, 17rspc2v 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
19 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
201, 2, 19cdj3lem2 23031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
21203expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( S `  ( t  +h  h
) )  =  t )
2221fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  =  (
normh `  t ) )
2322ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
242sheli 21809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
25 normge0 21721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2726adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  0  <_  ( normh `  h ) )
281sheli 21809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
29 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
31 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
3224, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
33 addge01 9300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( normh `  h )  <->  (
normh `  t )  <_ 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) ) )
3430, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( 0  <_  ( normh `  h )  <->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) ) )
3527, 34mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
3730ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
38 readdcl 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  e.  RR )
3930, 32, 38syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  e.  RR )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR )
41 hvaddcl 21608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
4228, 24, 41syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
43 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
45 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4644, 45sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4746ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( v  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  e.  RR )
48 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR  /\  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4937, 40, 47, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  /\  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( normh `  t )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
5036, 49mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5150imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  v  e.  RR )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5251an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5352adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5423, 53eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
55 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
5655fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
57 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5857oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5956, 58breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
6054, 59syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6160exp31 587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6218, 61syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6362com14 82 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6463com4t 79 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) ) )
6564rexlimdvv 2686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
665, 65syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
6766com3l 75 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( u  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
6867ralrimdv 2645 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6968anim2d 548 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
7069reximdva 2668 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
713, 70mpcom 32 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   ~Hchil 21515    +h cva 21516   normhcno 21519   SHcsh 21524    +H cph 21527   0Hc0h 21531
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  23036  cdj3i  23037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-ablo 20965  df-hnorm 21564  df-hvsub 21567  df-sh 21802  df-ch0 21848  df-shs 21903
  Copyright terms: Public domain W3C validator