HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2b Unicode version

Theorem cdj3lem2b 23017
Description: Lemma for cdj3i 23021. The first-component function  S is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem2.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
2 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 23014 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
41, 2shseli 21895 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  <->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
54biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
76oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
8 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
98fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
109oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
117, 10breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
12 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
1312oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
14 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
1514fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
1615oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
1713, 16breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1811, 17rspc2v 2890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
19 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
201, 2, 19cdj3lem2 23015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
21203expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( S `  ( t  +h  h
) )  =  t )
2221fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  =  (
normh `  t ) )
2322ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
242sheli 21793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
25 normge0 21705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2726adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  0  <_  ( normh `  h ) )
281sheli 21793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
29 normcl 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
31 normcl 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
3224, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
33 addge01 9284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( normh `  h )  <->  (
normh `  t )  <_ 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) ) )
3430, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( 0  <_  ( normh `  h )  <->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) ) )
3527, 34mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
3730ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
38 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  e.  RR )
3930, 32, 38syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  e.  RR )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR )
41 hvaddcl 21592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
4228, 24, 41syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
43 normcl 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
45 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4644, 45sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4746ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( v  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  e.  RR )
48 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR  /\  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4937, 40, 47, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  /\  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( normh `  t )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
5036, 49mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5150imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  v  e.  RR )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5251an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5352adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5423, 53eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
55 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
5655fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
57 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5857oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5956, 58breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
6054, 59syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6160exp31 587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6218, 61syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6362com14 82 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6463com4t 79 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) ) )
6564rexlimdvv 2673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
665, 65syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
6766com3l 75 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( u  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
6867ralrimdv 2632 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6968anim2d 548 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
7069reximdva 2655 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
713, 70mpcom 32 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   ~Hchil 21499    +h cva 21500   normhcno 21503   SHcsh 21508    +H cph 21511   0Hc0h 21515
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  23020  cdj3i  23021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-hnorm 21548  df-hvsub 21551  df-sh 21786  df-ch0 21832  df-shs 21887
  Copyright terms: Public domain W3C validator