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Theorem cdj3lem3b 23020
Description: Lemma for cdj3i 23021. The second-component function  T is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 31-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem3.3  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, T, u
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem3b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
2 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
3 cdj3lem3.3 . . . 4  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
41, 2shscomi 21942 . . . . 5  |-  ( B  +H  A )  =  ( A  +H  B
)
51sheli 21793 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
62sheli 21793 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
7 ax-hvcom 21581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
85, 6, 7syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
98eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A )  ->  ( x  =  ( w  +h  z )  <-> 
x  =  ( z  +h  w ) ) )
109rexbidva 2560 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z )  <->  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w
) ) )
1110riotabiia 6322 . . . . 5  |-  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z
) )  =  (
iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) )
124, 11mpteq12i 4104 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  +H  A )  |->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z
) ) )  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
133, 12eqtr4i 2306 . . 3  |-  T  =  ( x  e.  ( B  +H  A ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z ) ) )
141, 2, 13cdj3lem2b 23017 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
15 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
1615oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
17 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
1817fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
1918oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
2016, 19breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
21 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
2221oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
23 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
2423fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
2524oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
2622, 25breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
2720, 26cbvral2v 2772 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
28 ralcom 2700 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  A  A. h  e.  B  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  <->  A. h  e.  B  A. t  e.  A  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
291sheli 21793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
30 normcl 21704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3231recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  ( normh `  x )  e.  CC )
332sheli 21793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
34 normcl 21704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
3635recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
37 addcom 8998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  x ) ) )
3832, 36, 37syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) ) )
39 ax-hvcom 21581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4029, 33, 39syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4140fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( y  +h  x ) ) )
4241oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) )
4338, 42breq12d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) ) )
4443ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <->  A. y  e.  A  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) ) )
4544ralbiia 2575 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  x )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) )
46 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  h  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  h )
)
4746oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  h  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  x
) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  h
) ) )
48 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  h  ->  (
y  +h  x )  =  ( y  +h  h ) )
4948fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  h  ->  ( normh `  ( y  +h  x ) )  =  ( normh `  ( y  +h  h ) ) )
5049oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  x
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) ) )
5147, 50breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) ) ) )
52 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  t )
)
5352oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  h
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
54 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  t  ->  (
y  +h  h )  =  ( t  +h  h ) )
5554fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( normh `  ( y  +h  h ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5655oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  h
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5753, 56breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5851, 57cbvral2v 2772 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  y )  +  ( normh `  x
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  x
) ) )  <->  A. h  e.  B  A. t  e.  A  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5945, 58bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( A. h  e.  B  A. t  e.  A  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )
6027, 28, 593bitri 262 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )
6160anbi2i 675 . . 3  |-  ( ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( 0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
6261rexbii 2568 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
632, 1shscomi 21942 . . . . 5  |-  ( A  +H  B )  =  ( B  +H  A
)
6463raleqi 2740 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( B  +H  A
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) )
6564anbi2i 675 . . 3  |-  ( ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6665rexbii 2568 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6714, 62, 663imtr4i 257 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   ~Hchil 21499    +h cva 21500   normhcno 21503   SHcsh 21508    +H cph 21511
This theorem is referenced by:  cdj3i  23021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-hnorm 21548  df-hvsub 21551  df-sh 21786  df-ch0 21832  df-shs 21887
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